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1、微分方程 第八章 积分问题 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 第八章 引例. 一曲线通过点(1,3) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: (C为任意常数) 由 得 C = 2, 因此所求曲线方程为 由 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数 常微分方程 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方
2、程在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程 一、微分方程的基本概念 微分方程的解： 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解 使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 由通解确定特解的条件. 的阶数相同 . 特解 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 不含任意常数的解. 初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意： 通解不一定包含所有特解，因为有奇解 定义 定义 例. 验证函数 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切 线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解 例3 设有一质量为m的物体，从空中某处，不计空气 阻力而只受重力作用由静止状态自由降落.试求物体的 运动规律(即物体在自由降落过程中，所经过的路程s 与时间t的函数关系). 解
