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1、第四章 平稳时间序列模型的建立本章讨论平稳时间序列的建模问题，也就是从观测到的有限样本数据出发，通过模型的识别、模型的定阶、参数估计和诊断校验等步骤，建立起适合的序列模型。学习重点为模型的识别和模型的检验。第一节 模型识别一、 识别依据模型识别主要是依据SACF和SPACF的拖尾性与截尾性来完成。常见的一些ARMA类型的SACF和SPACF的统计特征在下表中列出，可供建模时，进行对照选择。表 ARIMA过程与其自相关函数偏自相关函数特征 模 型 自相关函数特征 偏自相关函数特征ARIMA(1,1,1)D xt = j1D xt-1 + ut + q1ut-1缓慢地线性衰减AR（1）xt = j
2、1 xt-1 + ut若j1 0，平滑地指数衰减若j1 0，k=1时有正峰值然后截尾若j11 0，k=1时有正峰值然后截尾若q1 0，交替式指数衰减若q1 0，j2 0）（j1 0，j2 0，q2 0，q2 0）指数或正弦衰减（q1 0，q2 0，q2 0）ARMA（1，1）xt = j1 xt-1 + ut + q1 ut-1k=1有峰值然后按指数衰减（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0，q1 0）（j1 0，q1 0，j2 0）k=1, 2有两个峰值然后按指数衰减（j1 0，j2 0）ARMA（1，2）xt = j1 xt-1+ ut + q1 ut-1+ q2 ut-2k=1, 2
3、有两个峰值然后按指数衰减（j1 0，q1 0，q2 0，q1 0，q2 0）k=1有峰值然后按指数或正弦衰减（j1 0，q1 0，q2 0，q1 0，q2 0）ARMA（2，2）xt=j1xt-1+j2xt-2+ ut +q1ut-1+q2ut-2k=1, 2有两个峰值然后按指数或正弦衰减（j1 0，j2 0，q2 0，j2 0，q2 0）k=1, 2有两个峰值然后按指数或正弦衰减（j1 0，j2 0，q2 0，j2 0，q2 0）二、 拖尾性与截尾性的判定理论上，对于MA(q)过程，其自相关函数在q步之后全部为零，实际上并非如此，因为为样本数据的估计值。同样地，偏自相关函数也存在类似的问题。
4、判定在m步之后截尾的做法是：实际判断时，以频率代概率。判定在n步之后截尾的做法是：实际判断时，以频率代概率。拖尾：即被负指数控制收敛于零。三、 实例【例4-1】现有磨轮资料250个，试判断该数据的零均值及平稳性。1时间序列趋势图2零均值化后的图形3ACF与PACF图形ACFPACF第二节 模型定阶一、 残差方差图法基本思想：以AR模型为例。对于时间序列，如果其合理（真正的）阶数为p，当我们用一个小于p的值为阶数去拟合它，所得到的剩余平方和必然偏大， ，不仅受剩余平方和的影响，而且还受自由度的影响。将比真正模型的大。原因在于它把模型中原本有的一些高阶项给省略了，而这些项的存在对减小残差的方差是有
5、明显贡献的。反之，如果我们用一个大于p的值作为阶数去拟合它（过度拟合），虽然剩余平方和减少，但已不明显，这时可能还会增大。因此，我们可以用一系列阶数逐渐递增的模型对进行拟合，每次都求出，作出阶数n和残差方差的图形，进行判断。这种方法直观简单，但没有量的准则，具有主观性。二、 自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）定阶法它们不仅可以用来识别模型，而且还可以用来确定模型的阶。三、 F检验定阶法基本思想：首先用ARMA(n,m)对进行过度拟合，再令为零，用F检验判定阶数降低之后的模型ARMA(n-1,m-1)与ARMA(n,m)之间是否存在显著性差异。如果有显著性差异，阶数能够升高；如果没有
6、差异，阶数可以降低。四、 最佳准则函数定阶法最佳准则函数法，是构造一个准则函数，该函数既要考虑用某一模型对原始数据拟合的接近程度（残差的大小），同时又要考虑模型中所含待定参数的个数。建模时，根据函数的取值确定模型优劣，使准则函数值达到最小的模型是最佳模型。准则函数法是日本学者赤池弘次(Akaike)最先提出。主要有FPE准则，AIC准则，BIC准则，SC准则。1 FPE准则基本思想：根据模型的预报误差来判断自回归模型的阶数是否恰当，合理的阶数应该能够使得模型的最终预报误差最小。基本理论：对于模型，时间序列的一步预报误差的方差为：，而是的无偏估计，于是 （1）（1）中第一个因子，随着阶数的增加而
7、增加；第二个因子随着阶数的增加而减少。因此它实质上就是一个最佳准则函数。该最佳准则函数还可写成： 详见教材中P103的证明。基本操作：按照从低阶到高阶的方式建立AR模型，并计算出相应的FPE的值，从中选择最小的FPE对应的n作为模型的阶，即。2 AIC准则（Akaike Information Criterion）基本思想：建立模型时，根据准则函数取值来判断模型的优劣，使准则函数达到极小的是最佳模型，该准则是在模型极大似然估计的基础上建立起来的。基本理论：最小信息准则AIC函数的一般形式： （2）在（2）式中“模型极大似然度”一般用似然函数表示，设样本长度N充分大时，ARMA模型得到近似极大似
8、然估计的对数似然函数为： 详细的证明，参见顾岚：时间序列分析在经济中的应用，中国统计出版社，1994年2月。 （3）由于（3）中第二项与模型及参数个数无关，可以舍弃。于是得到采用ARMA（n,m）模型拟合的AIC准则函数： 在EVIEWS软件中的定义与此不同。 （4）使得AIC信息量取值最小的n和m，即是模型理想的阶。由（4）可以看出AIC信息量由两部分构成：前一部分体现模型的拟合好坏，后一部分表明模型参数的多少。显然我们希望模型拟合得越精确真好，但过高的精度要求又会导致参数的增多及模型的复杂，可能反而影响模型的拟合效果，因此，实质上，它就是对拟合精度和参数个数二者加以适当权重。可以想象，当模
9、型中参数个数K由少至多增加时，拟合误差改进显著，（4）中第一项起主要作用，AIC明显下降；随着模型阶数增加，模型拟合残差改进甚微，AIC上升。AIC的最小值处对应着最佳模型的阶数。3 BIC准则AIC准则为时间序列模型定阶带来了许多方便，但AIC准则也有不足之处。从理论上已证明了AIC准则不能给出模型阶数的相容估计，即当样本趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型阶数不能收敛到其真值（通常比真值高）。Akaike于1976年提出了BIC准则弥补了AIC准则的不足。定义：，其中K是模型的自由参数个数，对于ARMA(n,m)模型，。从理论上已证明，BIC准则确定的模型阶数是真实阶数的相容估计。若，则是
10、要选择的最佳阶数。注：与的关系见图，用AIC准则往往比用BIC准则确定的阶数高。KK0/K0我们还可以定义其它类型的准则函数，如 （5）其中C是选定的常数。定义不同的准则函数是为了对拟合残差与参数个数之间进行不同的权衡，以体现使用者对于二者重要性的不同侧重。当然，对于同一数据序列使用不同准则挑选的最优模型不同，其渐近性质也不同。在实际问题中，相应于不同阶数的准则函数值往往不是理想的下凸函数，而是总的趋势符合下凸函数变化规律，同时有随机起伏，有时可能出现准则函数下降到某值后，没有明显的增长趋势，而是随机的起伏摆动。遇到这种情形，如果适当地增大（5）中常数系数C的值，可以使准则函数在后一段有明显的
11、增长趋势。五、 实例【例4-2】沿用例4-1中的数据，进行模型的定阶。第三节 参数估计一、 矩估计1自回归模型的参数估计：采用YULE-WALK方程 （1）2移动平均模型的参数估计： 可采用：直接法、迭代法、牛顿-拉普森算法。 （2）（1）直接解法（2）线性迭代法（3）牛顿-拉普森算法 详见顾岚：时间序列分析在经济中的应用，中国统计出版社，P120。3自回归移动平均模型的参数估计：将模型分成两个部分，先对AR部分应用YULE-WALK方程，计算得到剩余序列，对剩余序列应用MA模型的参数估计方法。二、 最小二乘估计（LS）1线性最小二乘估计2非线性最小二乘估计：高斯-牛顿法；最速下降法；三、 极大似然估计（ML）对于时间序列模型，一般采用极大似然法估计参数。对于一组相互独立的随机变量xt,（t = 1, 2, , T），当得到一个样本 (x1, x2, , xT) 时，似然函数可表示为 L (g | x1, x2, , xT) = f (x1| g ) f (x2| g ) f (xT | g ) = | g ) (1)其中g
