弯曲切应力15解析

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1、5.3 弯曲切应力 5.3.1 梁横截面上的切应力 一、矩形截面梁 图示一矩形截面梁受任 意横向载荷作用。 q(x) F1 F2 1用横截面m-m, n-n从梁中截 取dx微段 。两横截面上均有 剪力和弯矩。 dxx m m n n 弯矩产生正应力, 剪力产生切应力。 FS M+dM M FS n m m n 假设： 横截面上距中性轴等远的 各点处切应力大小相等。 各点的切应力方向均与截 面侧边平行。 对于狭长矩形截面, 横截面上侧 边各点处的切应力必与侧边平 行, 在对称弯曲情况下, 对称轴y 处的切应力必沿y方向, 且狭长 矩形截面上切应力沿截面宽度 的变化不可能大。 y b z h/2

2、y FS 两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上 到中性轴距离相等的点(用y表示)的正应 力也不等。 正应力()分布图 n m m n y FS M+dMM FS n m m n mn nm o h b dx y z m m y A B A1 B1 n2 假想地从梁微段上 截出体积元素 mB1 x y z x o m n m AB A1 B1 3 体积元素mB1在两端 面 mA1, nB1上两个 法向内力不等。 F *N1 F *N2 y z x o m n m AB A1 B1 F *N1 F *N2 式中 为面积A*(图b)对中性轴z的静 矩； A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1以 下

3、部分的面积。 4在纵截面AB1上必有 沿x方向的切应力 , 产生dFS。 mn nm o h b dx y z m m y A B A1 B1 n x y z x o m n m AB A1 B1 F *N1 F *N2 即 得 y z x o m n m AB A1 B1 F *N1 F *N2 dFS 由 在AB1面上有切应力。 根椐切应力互等定理, 在横截面上也应有切 应力。 mn n m o h b dx y z m m n x y z x o m n m A B A1 B1 F *N1 F *N2 dFS y A B A1 B1 5 横截面上距中性轴为 y的任意点, 其切应力 的计算

4、公式: m n nm o h b dx y z m m y A B A1 B1 n x 5.3.1 梁横截面上的切应力 Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩 b 所求点矩形截面的宽度 Sz* 过求切应力的点作与中 性轴平行的直线, 该横线以下部 分面积对中性轴的静矩 其方向与剪切力FS的方向一致 b y z A* h/2 对于矩形截面梁，横截面上的 切应力 沿截面高度的变化情 况由部分面积的静矩Sz*与坐标 y之间的关系反映。 y b z A* h/2 切应力沿截面高度按抛物线规律变化。 当y0时, 即在中性轴上各点处, 切应力达到 最大值。 当yh/2时, 即 在横截面上距中 性轴最远处, 切应

5、 力0。 Abh是矩形截面的面积。 5.3.1 梁横截面上的切应力 二、工字形截面梁横截面上的切应力 假设腹板上求应力的点到中性轴的距离为y Sz* 距中性轴为y的横 线以下部分截面的面积 对中性轴的静矩。 d 腹板的厚度 z y O max max min 腹板上的切应力沿腹板 高度按二次抛物线规律 变化。 z y O max max min 腹板上最大切应力也在中性 轴上。这也是整个横截面上 的最大切应力。 腹板上最小切应力发生在腹 板和翼缘的交点处。 max与min实际上相差不大, 所以, 可以 认为在腹板上切应力大致是均匀分布的。 横截面上的剪力FS的绝大部分（9095 ）为腹板所负担

6、。 5.3.1 梁横截面上的切应力 这样, 就可用腹板的 截面面积除剪力FS, 近似 地得出腹板内的切应力。 补充: 翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行 于剪力FS的切应力在其 上、下边缘处为零(因为 翼缘的上、下表面无切 应力)，可见翼缘横截面 上其它各处平行于FS的 切应力不可能很大，故 可不予考虑。 但是，如果从长为dx的 梁微段中用铅垂的纵截面在 翼缘上截取如图所示包含翼 缘自由边在内的分离体就会 发现，铅垂的纵截面上必有 由切应力1构成的合力。 h dx A* 自由边 根据 可得出 从而由切应力互等定理可 知，翼缘横截面上距自由边为 h 处有水平切应力1，而且它 是随h 按线性规律变化

7、的。 h dx A* 自由边 5.3.1 梁横截面上的切应力 *三、圆截面梁 对于圆截面梁, 由 切应力互等定理可知, 在截面边缘上各点处切 应力的方向必与圆周 相切。中性轴上各点处 切应力最大。 *4. 薄壁圆环形截面梁 对于薄壁环形截面梁， 环壁厚度为 ，环的平均半 径为r0，由于 r0 故可假设 ： （a）横截面上切应力的大 小沿壁厚无变化； （b）切应力的方向与圆周相切。 式中 A=2r0 横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为 z y r0 maxmax 5.3.2 弯曲切应力强度条件 梁除满足正应力强度外, 还需满足切 应力强度。 等直梁的最大切应力一般在最大剪力 所在横截面的中

8、性轴上各点处, 这些点的 正应力 = 0, 略去纵截面上的挤压应力后, 最大切应力所在的各点均可看作是处于纯 剪切应力状态。 仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式, 即 梁的切应力强度条件为 式中: 为材料在横力弯曲时的许用切应力。 特殊情况：在选择梁的截面时, 通常先按正应 力选出截面, 再按切应力进行强度校核！ ！ 5.3.2 弯曲切应力强度条件 三、需要校核切应力的几种特殊情况 u梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时，要 校核切应力； u铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与 高度比小于型钢的相应比值时，要校核切 应力； u胶合缝的抗剪能力较差，要校核切应力。 P 例1 一吊车梁设备如图 所

9、示。起重量(包含电 葫芦自重)P = 30 kN。 跨长l5 m。吊车大梁 AB由20a工字钢制成。 其许用弯曲正应力 170 MPa, 许用弯曲 切应力 100 MPa , 试校核梁的强度。 解:吊车梁可简化为简支梁。 5 m A B P x 由型钢表查得20a工字钢的 所以梁的最大正应力为 170 MPa, 100 MPa 所以梁的弯曲正应力强度足够。 因载荷是移动的, 力P在 何处时弯矩最大? 一 正应力强度校核 P M图 37.5 kNm 中点 5 m A B P x 二 切应力强度校核 在计算最大切应力时, 何时最 危险？ P 5 m A B P FS图 FS max FBFA 查型

10、钢表中20a号工字 钢, 有 d = 7 mm 170 MPa, 100 MPa 载荷P在紧靠任一支座, 例如 支座A处, 因为此时该支座的 支反力最大, 而梁的剪力也就 最大。 以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的。 据此校核梁的切应力强度 P 5 m A B P FS图 FS max FBFA 170 MPa, 100 MPa 所以梁的弯曲切应力强度足够。 例2 悬臂梁由三块木板粘接而成，l=1 m 。胶合面的许可切应力为0.34 MPa，木 材的10 MPa, =1 MPa，求许可载 荷。 许可切应力为0.34 MPa，木材的10 MPa, =1 MPa 2.按正应力强度条件计算

11、许 可载荷 解：1.画梁的剪力图和弯矩图 3.按切应力强度条件计算许 可载荷 10 MPa, =1MPa 4.按胶合面强度条件计算许可载荷 5.梁的许可载荷为 习题分析 5-22 例4 一简支梁受四个集中载荷F1120 kN, F2 30 kN, F340 kN, F412 kN。此梁由两根槽钢 组成, 已知梁的许用应力170 MPa, 100 MPa。试选择槽钢型号。 z y O B A 400 F1F4F2F3 400700300600 解: 支座反力为 FA = 138 kN, FB = 64 kN FA FB B A 400 F1F4F2F3 400700300600 138 18 1

12、2 52 64 FA FB 作剪力和弯矩图 FS max = 138 kN Mmax = 62.4 kNm FS图 62.4 55.254 38.4 M图 由正应力强度条 件选择槽钢型号 此梁所需要的抗 弯截面系数为 F1120 kN, F230 kN, F340 kN, F412 kN FA = 138 kN, FB = 64 kN 每一槽钢所需要的抗弯截面系数为 从型钢表中选用20a号槽钢, 其抗弯截面系数为 小于所需Wz。但当此梁选用两根20a号槽钢时, 梁的最大正应力为 超过许用正应力约3% , 在工程上是允许的。 z y O Mmax = 62.4 kNm 校核最大切应力 138 1

13、8 12 52 64 z 查得20a号槽钢的Iz=1780 cm4。 每一根槽钢分担的最大剪力为 所以20a号槽钢满足切应力强度条件。 170 MPa, 100 MPa 例5 对于图中的吊车大 梁，现因移动载荷F增 加到50 kN，故在20a号 工字钢梁的中段用两块 横截面为120 mm10 mm而长度2.2 m的钢板 加强，横截面尺寸如图 所示。已知许用弯曲正 应力152 MPa, 许 用切应力95 MPa 。试校核此梁的强度。 200 z 220 120 10 2.2m F 解：加强后的梁是阶 梯状变截面梁。所以 要校核 F移至未加强的梁段在截 面突变处的正应力 F靠近支座时支座截面上 的

14、切应力 F位于跨中时跨中截面 上的弯曲正应力 200 z 220 120 10 2.2m F 1 校核F位于跨中时的 正应力 从型钢表中查得20a工 字钢的惯性矩为2370 cm4 200 z 220 120 10 此处略去了加强板对其自 身形心轴的惯性矩。 2.2m F 1.4m 5m A B CD 200 z 220 120 10 抗弯截面系数 152 MPa, 95 MPa 2.2m F 1.4m 5m A B CD 2 校核突变截面处的 正应力，也就是校核 未加强段的正应力强 度。 该截面上的弯矩为最大 从型钢表中查得20a工字钢 M图 2.2m F 1.4m 5m A B CD FA FB 2.2m F 1.4m 5m A B CD FA FB 梁不能满足正应力强度条件。怎么办呢？ 为此应将加强板适当延长 。 M图 F靠近任一支座时，支 座截面为不利载荷位 置 3 校核阶梯梁的切应力 请同学们自行完成计算。 FS图 FS max 2.2m F 1.4m 5m A B CD FA FB