六讲时间序列的平稳性及其检验

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1、时间序列的平稳性及其检验 一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据 经典回归分析暗含着一个重要假设： 数据是平稳的 数据非平稳，大样本下的统计推断基础 “一致性”要求被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随 机变量 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求 ： (1)X与随机扰动项 不相关Cov(X,)=0 (2) 依概率收敛： 如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”， 基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很 高的相关性（有较高的R2)。例如：如果有两

2、列时间序列 数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没 有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可 决系数。 在现实经济生活中，实际的时间序列数据往往是非 平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往 表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。 数据非平稳的后果 导致出现“虚假回归”问题 二、时间序列数据的平稳性 定义：假定某个时间序列是由某一随机过程（ stochastic process）生成的，如果满足下列条件： 1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差

3、Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关 ，与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随 机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。 例1一个最简单的随机时间序列是一具有 零均值同方差的独立分布序列： Xt=t ， tN(0,2) 该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为 零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。 例2另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走（random walk），该序列由如下随机过程 生成： Xt=Xt-1+t 这里， t是一个白

4、噪声。 容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设 Xt的初值为X0，则易知: X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此: Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一 非平稳序列。 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t 由于t是一个白噪声，则序列 Xt是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的 ，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自 回归AR(1)过程

5、的特例: Xt=Xt-1+t 不难验证: 1)|1时，该随机过程生成的时间序列是发散的 ，表现为持续上升(1)或持续下降(0)同时为0的假 设。 例3: 下表序列Random1是通过一随机过程（随 机函数）生成的有19个样本的随机时间序列。 容易验证：该样本序列的均值为0，方差为 0.0789。 从图形看：它在其样本均值0附近上下波动， 且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近 波动且逐渐收敛于0。 从QLB统计量的计算值看，滞后17期的计 算值为26.38，未超过5%显著性水平的临 界值27.58，因此,可以接受所有的自相关 系数k(k0)都为0的假设。 因此，该随机过程是一个平稳过程。

6、序列Random2是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。其中，t是由 Random1表示的白噪声。 图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本 自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随 着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。 从QLB统计量的计算值看，滞后1期的计算值为 5.116，超过5%显著性水平的临界值3.84，因此,拒 绝自相关系数k(k0)都为0的假设。 该随机游走序列是非平稳的。 例 检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。 表 19782000年中国支出法GDP（单位：亿元） 图形：表现出了一个持续上升的过程，可初 步判断是非平稳的。 样本自

7、相关系数：缓慢下降，再次表明它的 非平稳性。 从滞后18期的QLB统计量看： QLB(18)=57.1828.86=0.052 拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的 值全部为0的假设。 结论: 19782000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。 1、DF检验 随机游走序列: Xt=Xt-1+t 是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成 是随机模型: Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。 四、平稳性的单位根检验 （unit root test） （*）式可变形式成差分形式： Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*) 检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（* ）式

8、判断是否有 =0。 对式： Xt=Xt-1+t （*） 进行回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt 有一个单位根。 可证明，（*）式中的参数1或=1时，时 间序列是非平稳的; 对应于（*）式，则是0或 =0。 因此，针对式： Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。 备择假设 H1：0 上述检验可通过OLS法下的t检验完成。 然而，在零假设（ 序列非平稳）下，即使在大 样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通 常的t 检验无法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统 计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量 ），即DF分布（见表9.1.3）。 由

9、于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零 值的偏态分布。 因此，可通过OLS法估计： Xt=+Xt-1+t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性 水平下的临界值比较： 如果：t临界值，则拒绝零假设H0： =0， 认为时间序列不存在单位根，是平稳的。 注意：在不同的教科书上有不同的描述，但 是结果是相同的。 例如：“如果计算得到的t统计量的绝对值大于 临界值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序列 不存在单位根，为平稳序列。 问题的提出： 在利用Xt=+Xt-1+t对时间序列进行平稳性 检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随 机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。 但在实际检验中，

10、时间序列可能由更高阶的自 回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声， 这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现 自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。 2、ADF检验 另外，如果时间序列包含有明显的随时 间变化的某种趋势（如上升或下降），则也 容易导致上述检验中的自相关随机误差项问 题。 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声 特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充， 形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验 。 ADF检验是通过下面三个模型完成的： 模型3 中的t是时间变量，代表了时间序列随 时间变化的某种趋势（如果有的话）。模

11、型1 与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋 势项。 检验的假设都是：针对H1: 临界值，不能拒绝存在 单位根的零假设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临 界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设 。需进一步检验模型2 。 2）经试验，模型2中滞后项取2阶： LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此 该模型的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界 值，不能拒绝存在单位根的零假设。 常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能 拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。 3)经试验，模型1中滞后项取2阶： LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因 此模型

12、的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于 临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。 ADF检验在Eviews中的实现 ADF检验在Eviews中的实现 ADF检验在Eviews中的实现检验GDPP ADF检验在Eviews中的实现检验GDPP 从GDPP(-1) 的参数值看， 其t统计量的值 大于临界值， 不能拒绝存在 单位根的零假 设。同时，由 于时间项T的t 统计量也小于 ADF分布表中 的临界值，因 此不能拒绝不 存在趋势项的 零假设。需进 一步检验模型2 。 ADF检验在Eviews中的实现检验GDPP ADF检验在Ev

13、iews中的实现检验GDPP 从GDPP(-1) 的参数值看， 其t统计量的值 大于临界值， 不能拒绝存在 单位根的零假 设。同时，由 于常数项的t统 计量也小于 ADF分布表中 的临界值，因 此不能拒绝不 存在趋势项的 零假设。需进 一步检验模型 1。 ADF检验在Eviews中的实现检验GDPP ADF检验在Eviews中的实现GDPP 从GDPP(- 1)的参数值 看，其t统计 量的值大于 临界值，不 能拒绝存在 单位根的零 假设。至此 ，可断定 GDPP时间 序列是非平 稳的。 ADF检验在Eviews中的实现检验GDPP 从GDPP(-1)的 参数值看，其t统 计量的值大于临界 值，

14、不能拒绝存在 单位根的零假设。 同时，由于时间项 项T的t统计量也小 于AFD分布表中的 临界值，因此不能 拒绝不存在趋势项 的零假设。需进一 步检验模型2 。在 1%置信度下。 从GDPP(-1)的 参数值看，其统 计量的值大于临 界值，不能拒绝 存在单位根的零 假设。同时，由 于常数项的t统计 量也小于AFD分 布表中的临界值 ，因此不能拒绝 不存在趋势项的 零假设。需进一 步检验模型1。 从GDPP(- 1)的参数值看 ，其统计量的 值大于临界值 ，不能拒绝存 在单位根的零 假设。至此， 可断定 GDPP时间 序列是非平稳 的。 ADF检验在Eviews中的实现检验2GDPP 从2GDP

15、P( -1)的参数值 看，其统计量 的值小于临界 值，拒绝存在 单位根的零假 设。至此，可 断定 2GDPP时 间序列是平稳 的。 GDPP是I(2) 过程。 1、单整（integrated Serial） 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的， 就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序列 ，记为I(1)。 一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变 成平稳序列，则称原序列是d 阶单整（ integrated of d）序列，记为I(d)。 例如上述人均GDP序列，即为I(2)序列。 I(0)代表一平稳时间序列。 五、单整、趋势平稳与差分平稳 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列 表现为平稳的，如利率等; 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以 当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的 ，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为 1阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多 次差分的形式变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分， 都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的 （non-integrated）。 2、趋势平稳与差分平稳随机过程 含有一阶自回归的随机过程： 如果=1，=0，Xt成为一带位移的随机游走过程