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1、第五章 测量误差的基本知识 5.1 测量误差及其分类 一 、测量误差及其来源 观测误差来源于三个方面： 观测者视觉鉴别能力和技术水平； 仪器、工具的精密程度； 观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测 成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观 测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至 趋近于零。 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的 误差 二 测量误差的分类 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 两类。 （1）系统误差在一定的观测条件下进行一系列 观测时，符号和大小保持不
2、变或按一定规律变化的误差， 称为系统误差。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 二 测量误差的分类 在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方 法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或 削弱系统误差的影响。 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系 统误差的改正。 将系统误差限制在允许范围内。 二 测量误差的分类 (2)偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观 测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。 产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的。 系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消 除不了的。 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小
3、没有一定的规律性 ，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且 误差个数越多，规律性越明显。 三 偶然误差的特性 在测量工作中，观测的对象如长度 角度和高差等，称为观测 量。 任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值， 称为该量的“真值”。 测量所获得的数值称为观测值。 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上 表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异称为 真误差，简称误差。 i=Li-X 式中i就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 几个概念 三 偶然误差的特性 例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角 。由于观测
4、值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于 真值180 三 偶然误差的特性 以误差大小为 横坐标，以频率 k/n与区间d的比 值为纵坐标，绘制 成频率直方图 该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的 频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最 大误差不超过24。 可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间d，各 矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线 。 其函数式为： 三 偶然误差的特性 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值 不超过一定的限值。(范围) 特性2 绝对值较小的误差
5、出现的频率大，绝对值较大的误差出 现的频率小。(绝对值大小) 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号) 特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0， 即(抵偿性) 52 衡量精度的指标 一 精度 精度：是指对某一个量的多次观测中，误差分布 的密集或离散程度。 在相同观测条件下 ，对某一量所进行的 一组观测，虽然它们 的真实误差不相等， 但都对应于同一误差 分布，故这些观测值 误差是相等的。 52 衡量精度的指标 二 衡量精度的指标 1 中误差（标准差） 设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复 观测，其观测值为l1，l2、，ln，相应的真误 差为1，2，n。则观测
6、值的中误差m为 ： 真误差的平方和， 1 中误差（标准差） 例5-1 设设有1、2两组观测值组观测值 ，各组组均为为等精度观测观测 ，它们们 的真误误差分别为别为 ： 甲组组：+4，-2，0，-4，+3； 乙组组：+6，-5，0，+1，-1； 试计试计 算1、2两组组各自的观测观测 精度。 解 1、2两组观测值的中误差为： m1=3.0m2=3.5 比较m1和m2可知，1组的观测精度比2组高。中误差所代 表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次 的观测精度。 2 平均误差 在相同的观测条件下，一组独立的真误差为1、 2 3、 n 那么平均误差为 当观测次数有限时 计算例5-1的平均误差
7、 1=2.6 2=2.6 我国一般采用中误差作为评判精度的指标 （3）容许误差（限差） 在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为 偶然误差的容许值，即 容=22m 或容=33m 如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认 为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。 在一定条件下，偶然误差绝对值不应超过的限值称 为容许误差，也称为限差或极限误差 （4）相对误差 上式中当m为中误差时，K称为相对中误差。 相对误差K是误差m的绝对值与观测值D大小的比值： 中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出 观测值的精度。例如丈量两段距离，D1100m，m11cm 和D2300m，m21c
8、m，虽然两者中误差相等，m1m2 ，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这时应采用 相对中误差K来作为衡量精度的标准。 K1=1/10000; k2=1/3000 上面例相对误差为： 5-3 算术平均值及其中误差 一 算术平均值（与真值的关系） 设对某未知量进行n次等精度观测，其观测值分别 为l1，l2，ln ,则其算术平均值为 算术平均值x作为该未知量的最可靠的数值，又称 最或然值。算术平均值比这组内任一观测值都更为 接近真值。 (1) 设观测量的真值为X，观测值为li（i=1，2，3n)， 则观测值的真误差为： 将各式两边相加，并除以n，得 将(1)式代入上式，并移项，得 根据偶然误
9、差的特性，当观测次数n无限增大时，则有 那么同时可得 由上式可知，当观测次数n无限增大时，算 术平均值趋近于真值。但在实际测量工作中， 观测次数总是有限的，因此，算术平均值较观 测值更接近于真值。我们将最接近于真值的算 术平均值称为最或然值或最可靠值。 二、观测值改正数(定义、特性） 观测量的算术平均值与观测值之差，称为 观测值改正数，用v表示。当观测次数为n时 ，有 将上面各式两边相加，得 观测值改正数的重要特性，即对于等精度观测，观 测值改正数的总和为零。 又因 三、由观测值改正数计算观测值中误差 计算中误差时，需要知道观测值的真误差 ，但在测量中，我们常常无法求得观测值的 真误差。一般用
10、观测值改正数来计算观测值 的中误差。 真误差： 观测值改正数： 真误差与观测值改正数的定义为： 以上两式相加，可得 各式两边同时平方并相加，得 因令 两边再除以n关键求 因 所以 故 = 为真误差，所以由于 也具有偶然误差的特性。当n时，则有 所以 带入前式 因此 即 因为 故 这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式 算术平均值的中误差 例 某一段距离共丈量了六次，结果为： 148.643m,148.590m,148.610m,148.624m,148.654 m,148.647m ， 求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及 相对误差。 解： 测测次 观测值观测值 / m 观测值
11、观测值 改正 数v/ m m vv 1148.64315225 2148.590381444 3148.61018324 4148.624416 5148.65426676 6148.64719361 平均值值148.6283046 观测中误差 算术平均值的中误差 相对误差 第四节 误差传播律 在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得， 而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计 算出来。由于独立观测值存在误差，导致其函数 也必然存在误差，这种关系称为误差传播。阐述 观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定 律称为误差传播律。 一、线性函数的中误差 设线性函数 (观测值计算结果） 设独立直接
12、观测值x、y相应的中误差为mx、my， 函数Z的中误差为mZ。当观测值x、y中分别含有真 误差x、y时，函数Z产生真误差z，即 式中 k1、k2常数； x、y独立直接观测值。 上面两式相减 设对x、y 各独立观测了n次，则有 取上式两端平方和，并除以n，得 从偶然误差的特性可知，当n时， 趋近于零。 上式可变为 根据中误差的定义，得 或 根据上面的推导方法，可求得Z的中误差为 当Z是一组观测值x1、x2、xn的线性函 数时，即 由上式可推知和差函数与倍数函数的中误差 。 （1）对于和差函数Zxy，有 如果mx=mym，则 当Z是n个独立观测值的代数和时，即 可推得 （2）对于倍数函数Zkx，有
13、 如果m1m2mnm，则 例1 设对某量进行了n次等精度观测，其观测值 分别为l1、l2、ln，每一观测值的中误差为m， 算术平均值为L，求算术平均值的中误差M。 解 算术平均值为 算术平均值中误差 例2 在1：500的地形图上测量两点间的距离，图 上的距离d42.3mm，在地形图上量距误差md 0.2mm，求实地距离及md。 解 二、非线性函数的中误差 设非线性函数为 式中 x1，x2，xn独立直接观测值； Z未知量。 设x1，x2，xn为独立直接观测值，中误差分别为 m1，m2，mn，函数Z的中误差为mZ。如果x1， x2，xn包含有真误差x1，x2，xn，则函 数Z也产生真误差Z。 上式
14、用泰勒级数展开成线性函数的形式，再对线性函数 取全微分，可得 由于真误差均很小，用其近似地代替上式中的dZ、 dx1、dx2、dxn，可得真误差关系式 是函数对各独立观测值xi的偏导数 因此，函数Z的中误差为 例1 在地面上有一矩形ABCD，AB40.38 m0.03 m ，BC33.42 m0.02 m，求面积及其中误差。 解 设ABa40.38 m，ma0.03 m，BCb 33.42 m，mb0.02m 面积的中误差为 面积计算如下： 对函数式求其偏导数得 例2 如图，测得AB的垂直角为30000030，平距 AC为D200.00m0.05 m，求A、B两点间高差h及其中误 差mh。 解
15、 A、B两点间高差为 A B C h D200m 30 对函数式求其偏导数得 高差的中误差为 例3： 水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中 误差 解 普通水准测量每站测得高差 水准尺刻划误差)。若以3倍中误差为容许误差，试 求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差 。 (包括照准误差，气泡居中误差及 则每站观测高差的中误差为 ： 观测n站所得高差 以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容 许误差为： 高差闭合差为已知值(无误差)。 则闭合差 的中误差为： 作 业 1测量距离A、B和C、D。往测结果分别为 258.598m和138.745m，返测结果分别为258.547m 和138.778m。分别计算往返较差、相对误差，并比 较精度。 2测得一正方形的边长a86.25m0.04m。试 求正方形的面积及其相对误差。 3在1：25000地形图上量得一圆形地物的直径 为d31.3mm0.3mm。试求该地物占地面积及其 中误差。 4一个三角形，测得边长a150.50m0.05m， 测得A64241，B35102。计算
