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1、第 1 课时 第2 3 课时 第 4 课时 复习回顾 口答：口答： 问题：630可以被哪些整数整除？ 解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对630630进进 行分解质因数行分解质因数630 = 23257 类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题 新课引入 试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积) 回忆前面整式的乘法 上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 ，也叫做把这个多项 式 。分解因式 因式分解 因
2、式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是逆变形 依照定义，判断下列变形是不是 因式分解（把多项式化成几个整式的积） 创设情景 学校打算把操场重新规划一下，学校打算把操场重新规划一下， 分为绿化带、运动场、主席台三个部分为绿化带、运动场、主席台三个部 分，如下图，计算操场总面积。分，如下图，计算操场总面积。 abc m abc m 方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc mm 方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc m ( a + b + c ) = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因
3、式分解？ 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项 式中每一个项都含有的因式，叫做 。 公因式 ma + mb + mc = m ( a + b + c ) ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。 提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。 如何准确地找到多项 式的公因式呢？ 1、系数 所有项的系数的最大公因数 2、字母 应提取每一项都有
4、的字母， 且字母的指数取最低的 3、系数与字母相乘 例题精讲 最大公因数为3 = 3 a的最低指数为1 a b的最低指数为1 b(3a5bc) = 4st2(3s22t+1) pq(5q+7p+3)= 做一做 按照提公因 式法因式分解。 提高训练(一) 提高训练(二) 第 3 课时 第 2 课时 复习回顾 还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？ 平方差公式： 完全平方公式 ： 计算计算 ： = (999+1)(9991)= (999+1)(9991) 此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ? 新课引入 试计算：试计算：999999 2 2 1 1 12 =
5、1000998 = 998000= 1000998 = 998000 平方差公式逆用 因式分解因式分解: :（1 1）x x 2 2 ; ;（2 2）y y 2 2 4 254 2522 52 = (= (x x+2)(+2)(x x2)2)= (= (y y+5)(+5)(y y5)5) 这些计算过程中都这些计算过程中都逆用了平方差公式了平方差公式 即：即： 此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2
6、= _ 100x2 9y2 =_ (a+3)(a3) (7+n)(7n) 5(s+2t)(s2t) (10x+3y)(10x 3y) x x 2 2 + 4 + 4 4 4x x 2 2 + + y y 2 2 x x 4 4 1 1 x x 2 2 x x 6 6 6 6x x 3 3 54 54xyxy 2 2 ( (x x+ +p p) ) 2 2 ( (x x q q) ) 2 2 = = y2 4x2 = ( = (y y+2+2x x)( )(y y22x x) ) = = (x2)2 12 = (= (x x 2 2 +1) (+1) (x x 2 2 1)1) 4 4x x 2
7、 2 + + y y 2 2 x x 4 4 1 1 (x21) = = ( 4x2 y2 ) = (2 = (2x x+ +y y)(2)(2x x y y) ) (x+1)(x1) 因式分解一定要分解彻底 ! x x 2 2 x x 6 6 = = x2 (x3)2 = ( = (x x+ +x x 3 3 )( )(x x x x 3 3 ) ) = = x(1+(1+x x 2 2 ) )x(1(1x x 2 2 ) ) = = x x 2 2 (1+(1+x x 2 2 ) )(1+x)(1x) x x 2 2 x x 6 6 = = x2 (1 (1x x 4 4 ) ) = =
8、x x 2 2 (1+x2)(1x2) = = x x 2 2 (1+ (1+x x 2 2 ) )(1+x)(1x) 在我们现学过的因式分解方法中， 先考虑提取公因式，再考虑用公式法。 6 6x x 3 3 54 54xyxy 2 2 = = 6x ( (x x 2 2 99y y 2 2 ) ) = 6 = 6x x (x+3y)(x3y) ( (x x+ +p p) ) 2 2 ( (x x q q) ) 2 2 = ( = (x x+ +p p)+()+(x x q q) () (x x+ +p p)()(x x q q) ) = (2 = (2x x+ +p p q q)( )(p
9、p+ +q q) ) YX YXYX 做一做 利用平方差 公式因式分解。 提高训练(一) 设m、n为自然数且满足 关系式12+92+92+22+m2=n2， 则m = _，n = _。 提高训练(二) 3、n是自然数，代入n3 n中计算时，四个同学算出 如下四个结果，其中正确的只可能是( )。 A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158 复习回顾 还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？ 计算计算 ： 新课引入 试计算：试计算：999999 2 2 + 1998 + 1 + 1998 + 1 29991 = (999+1)2 = 106
10、此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ? 完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。 即： 这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去 ）这两个数的积的两倍，等于这两 个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _ (a+3)2 (n5)2 4(t1)2 (2x3y)2 16 16x x 2 2 + 24 + 24x x + 9 + 9 4 4x x 2 2 + 4 + 4xyxy
11、y y 2 2 x x 2 2 + 2 + 2x x 1 1 4 4x x 2 2 8 8xyxy + 4 + 4y y 2 2 1 2 1 2a a 2 2 + + a a 4 4 ( (p p+ +q q) ) 2 2 12( 12(p p+ +q q) + 36) + 36 形如a22ab+b2 的式子叫做完全平 方式。 完全平方式一 定可以利用完全平 方公式因式分解 完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 16 16x x 2 2 + 24 + 24x x
12、+ 9 + 9 4 4x x 2 2 + 4 + 4xyxy y y 2 2 4 4x x 2 2 8 8xyxy + 4 + 4y y 2 2 = (4x+3)2 = (4x24xy+y2) = (2xy)2 = 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2 2 2a a 2 2 + + ( (p p+ +q q) ) 2 2 12( 12(p p+ +q q) + 36) + 36 a a4 4 1 1 = (a21)2 = (a+1)2 (a1)2 = (a+1) (a1)2 = (p+q6)2 XX X 做一做 用完全平方公 式进行因式分解。 做一做 用恰当的方 法进行因式分解 。 备选
13、方法 ： 提公因式法 平方差公式 完全平方公式 提高训练(一) 给4x2+1加上一个单项式， 使它成为一个完全平方式，这 个单项式可以是 _。 提高训练(二) 提高训练(三) 知识结构 因式分解 常用方法 提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习： 1 1）15(15(mm n n)+13()+13(n n mm) ) 2 2）4(4(x x+ +y y)+4()+4(x x33y y) ) 二、公式法
14、只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公 式，可以逆用进行因式分解。 常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导 这是公式这是公式x x 2 2 + +y y 2 2 + +z z 2 2 + +xyxy+ +xzxz+ +yzyz的推导过程的推导过程 不要与不要与( (x x+ +y y+ +z z) ) 2 2 = =x x 2 2 + +y y 2 2 + +z z 2 2 + +2xyxy+ +2xzxz+ +2yzyz混淆混淆 公式法随堂练习： 1 1）( (a a 2 2 1010a a+25)(+25)(a a 2 2 25)25) 2 2）x x 3 3 +3+3x x 2 2 + +3 3x x+1+1 二
