高三一轮复习排列组合讲义

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1、* 基 本 原 理 组合 排列排列数公式 组合数公式 应 用 问 题 1、知识结构 一。复习回顾 2。分类记数原理，分步记数原理 分类记数原理分步记数原理 原理 完成一件事可以有n类 办法，在第一类中有m1种不 同的方法，在第二类中有m2 种不同的方法，在第 n类办法中有mn种不同的方 法，那么完成这件事共N= m1+m2+mn有种不同的方 法。 完成一件事需要分成n个 步骤，第一步有m1种不同的 方法，第二步有m2种不同的 方法，第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件 事共N=m1m2mn有 种不同的方法。 区别 分类记数原理针对的是“ 分类”问题，其中各种方法 相互独立，用其中任何一种

2、方法都可完成这件事。 分步记数原理针对的是 “分步”问题，各步方法相互 依存，只有各步都完成才能 完成这件事。 排列组合 定义 从n个不同元素中，任取 m(mn)个不同元素按照 一定顺序排成一列，叫 做从n个不同元素中取出 m个不同元素的一个排列 。 从n个不同的元素中， 任取m（mn）个不 同的元素并成一组， 叫做从n个不同的元素 中取出m个不同的元 素的一个组合。 区别与顺序有关与顺序无关 判定 看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法 ，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。 公式 3。排列与组合 解析 法一 用2,3组成四位数共有222216( 个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因

3、此满足条 件的四位数共有16214(个) (2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3 局者获胜，决出胜负为 止，则所有可能出现的 情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A10种 B15种 C20种 D30种 C 【例1】如图图，用5种不同的颜颜色给图给图 中 A、B、C、D四个区域涂色，规规定每 个区域只涂一种颜颜色，相邻邻区域颜颜色 不同，求有多少种不同的涂色方法？ 考向3 涂色问题 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事 需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种 方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可 以使用涂A的颜色)，根据分步计数原

4、理共有5433 180种涂色方法 解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色 互不相同，共有 60种涂法；又D与B、C相邻、因此D 有3种涂法；由分步计数原理知共有603180种涂法 180 2011高考导航 解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类 ：四个区域涂四种不同的颜色共有 120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不 相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 60种涂法 由分类计数原理知共有涂法12060180(种) 方法总结： 对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色. 法2根据用色多少分类法. 变变式1 如下

5、图图，一个地区分为为5个行政区，现给现给 地图图着色， 要求相邻邻区域不得使用同一颜颜色，现现有4种颜颜色可供选选 择择，则则不同的着色方法共有_ 种(以数字作答) 答案：72 (2) 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元 素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻 元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； (3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空 法”. (1) 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是 先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（ 位置）法“优限法”； 3.排列组合混合题的解题策略 解题原则：先选后排，先分再排 (4

6、) 间接法和去杂法等等. （一）特殊元素的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。 例1 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数 ， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类； 1) 0排在末尾时，有 个； 2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排 十位有 个； 由分类计数原理，共有偶数 30 个. B 解题技巧 例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有

7、重复 数字的三位数，其中1不在个位的数共有_种。 （二）总体淘汰法(间接法） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不 符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。 分析：五个数组成三位数的全排列有 个，0排在首位的 有 个 ，1排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排 法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数 （为什么？） 故共有 种。 （三）相邻问题捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相 邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组）， 与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进 行排列。 例3 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻， 分别有多少种站法？ 分析：先

8、将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素 ，与其余4人共有5个元素做全排列，有 种排法，然 后对甲，乙，丙三人进行全排列。 由分步计数原理可得： 种不同排法。 （四）不相邻问题插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它 元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。 例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？ 分析：可先让其余4人站好，共有 种排法，再在 这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、 乙、丙插入，则有 种方法，这样共有 种不 同的排法。 练习练习4.4.一个晚会的节目有一个晚会的节目有4 4个舞蹈个舞蹈,2,2

9、个相声个相声,3,3个个 独唱独唱, ,舞蹈节目不能连续出场舞蹈节目不能连续出场, ,则节目的出则节目的出 场顺序有多少种？场顺序有多少种？ 解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 相相独独独 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端行排队再把不相邻元素插入中间和两端 例5 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 将7名学生排成一

10、行，要求从左到右，女生从矮到高 排列，有多少种排法？ （五）顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数. 所以共有 种。 分析：先在7个位置上作全排列，有 种排法。其中 3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只 对应一种排法， （1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？ 练 习 5 2三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙 三人的顺序不变，有几种不同排法？ 分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲， 乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种 符合条件，故 符合条件的排法有 种.

11、 （六）分排问题用“直排法” 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他 的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理. 例6 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，则有多少种不同的坐法？ 分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以 不同的坐法有 种. （1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人 、后排四人，有几种不同排法？ 或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件， 所以 两排可看作一排来处理 不同的坐法有 种 （2）八个人排成两排，有几种不同排法？ 练 习 6 （七）实验法（穷举法） 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐 步寻求规律有时

12、也是行之有效的方法。 例7 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的 四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与 所填的数字均不相同的填法种数有（ ） A.6 B.9 C.11 D.23 分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难 ，可用实验法逐步解决。 第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。 若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。 若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。 同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应 填3。因而，第一格填2有3种方法。 不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9

13、种。 练习7.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2， 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要 求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与 盒子的编号相同, 有多少投法？ 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应， 利用实际 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 装法 3号盒 4号盒 5号盒 34 5 20 （八）住店法 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作“客人”，能重复的元素看作“店”，再利用 乘法原理直接求解。 例8 七

14、名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人 获得，获得冠军的可能的种数有（ ） A. B. C D. 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列 ，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客人”，每个“ 客人”有7种住宿法，由乘法原理得 种。 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？ 用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。 练习. 8.五名学生报报名参加四项项体育比赛赛，每人限报报一项项， 报报名方法的种数为为多 少？五名学生争夺夺四项项比赛赛的冠 军军(冠军军不并列)，获获得冠军军的可能性有多少种？ 解答：报名的方法种数为为4444445(种) 获获得冠军军的可能情况有55

15、5554(种). （九）元素相同问题隔板策略 例9.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少 一个,有多少种分配方案？ 解:因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相 邻名额之间形成9个空隙. 在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名 额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板 方法对应一种分法共有_种分法. 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 练习9、12个相同的球分给3个人,每人至少一个, 而且必须全部分完，有多少种分法？ 解:将12个球排成一排,一共有11个空隙,将两个 隔板插入这些空隙中,规定两 隔板分成的左中右 三部分球分别分给3个人,每一种隔法 对应一种 分法,于是分法的总数为 种方法. 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分 会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以 名额分配方案有 种. 例10. 有12本不同的书. （1）按444平均