机器人学第四章综述

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1、4 串联机器人运动方程 机器人运动学研究的是机器人各连杆间的 位移关系、速度关系和加速度关系。本章 只讨论位移关系，即研究的是机器人手部 相对于机座的位置和姿态。 串联机器人是一开式运动链，它是由一系 列连杆通过转动关节或移动关节串联而成 的。关节由驱动器驱动，关节的相对运动 导致连杆的运动，使手爪到达一定的位姿 。 已知机器人各关节的位移值，求其手部 的位姿，这称为机器人运动学的正问题 ；其逆问题则是：已知手部位姿，求解 各关节变量的位移值。正问题和逆问题 都与机器人连杆的结构和参数有关。 图4.1 运动学正问题和逆问题 为了研究机器人连杆间的位移关系，可 以在每个连杆上固联一个运动坐标系（

2、称 为连杆坐标系或附体坐标系），然后研究 各坐标系（连杆）之间的关系。Denavit 和Hartenberg提出了一种建立连杆坐标系 的规则，用一44的齐次变换矩阵来描述 相邻连杆间的位姿关系，进而推导出机器 人手部坐标系相对于机座坐标系的位姿矩 阵，建立机器人的运动方程。 4.1 机器人的连杆坐标系 4.1.1 连杆编号 串联机器人是一开式运动链，因此从机 器人机座开始至手爪依次对每一个连杆 从小到大编号，即连杆1、连杆2连杆n 等。每一个关节也依次从小到大编号为 关节1、关节2 关节n等，机座编号 为连杆0。图4.2所示为PUMA560机器人的 连杆及关节编号。 4.1.2 连杆参数 连杆

3、i的两端有两根轴线，两轴线的公垂线 的长度定义为连杆i的长度，用ai表示； 在垂直于ai的平面内测量的两轴线的夹角 称为连杆i 的扭角，用i 表示。如图 4.3所示。 图图4.3 4.3 杆件坐标系及其参数杆件坐标系及其参数 第第i i关节的关节轴置于两连杆的连接处，该关节的关节轴置于两连杆的连接处，该 关节有两条垂线，关节有两条垂线， 每根连杆一条。于是定每根连杆一条。于是定 义下述关节参数：义下述关节参数： 关节偏置：这两条垂线沿关节轴的距离称关节偏置：这两条垂线沿关节轴的距离称 为该关节的偏置；为该关节的偏置； 关节角度：两条垂线在垂直于轴线的平面关节角度：两条垂线在垂直于轴线的平面 内

4、的夹角称为该关节的关节角内的夹角称为该关节的关节角 。 4.1.3 连杆坐标系 中间连杆坐标系的设置规则： 第i个连杆坐标系的 轴沿第i+1关节轴 线设置，指向任意。 轴沿轴线i和轴线i+1的公垂线设置， 由轴线i指向轴线i+1。 轴由右手定则确定。 机座坐标系的设置规则： 机座坐标系是固定不动的。 沿第一个关节 轴线设置， 和 按右手定则任意设置 。 手部坐标系的设置规则： 对于有n个连杆的机器人，第n连杆的后端是 末端执行器，因此第n个坐标系一般按以下 原则确定， 轴沿手指向外， 轴垂直于 轴即可。 以上的连杆坐标系设置方法称为DH表示法 。 连杆参数与关节参数的确定： 为绕 轴从 轴到

5、轴旋转的角度； 是从第（i-1）坐标系的原点到 轴和 轴的交点沿 轴的距离； 是从 和 的交点到第i坐标系原点沿 的距离； 是绕 由 转向 的角度。 图4.4 PUMA机器人的杆件坐标系 4.2 PUMA560机器人的运动学方程 PUMA560 有六个自由度，其关节全是转动关节， 其杆件坐标系的建立如下： 杆件坐标系建立法 给定一个n自由度的机器人 ，其几何形态类似于人的手臂，本算法按手臂 的形态为每一杆件建立一个标准正交坐标系。 从机座开始到末端执行器逐个给坐标系标号。 相邻杆件间的关系可用44齐次变换矩阵表示 。这样建立的坐标系有助于制定一种步骤统一 的关节变量解法。将在后面各节中讨论。

6、D1 D1 建立机座坐标系。在机座上建立右手正交建立机座坐标系。在机座上建立右手正交 坐标系（坐标系（X X 0 0 ，Y Y 0 0 ，Z Z 0 0 ），），使使z z 0 0 轴沿关节轴沿关节l l的运动的运动 轴并指向手臂的肩部。轴并指向手臂的肩部。 x x 0 0 和和y y 0 0 轴与轴与z z 0 0 垂直，但垂直，但 方向可任选。方向可任选。 一旦建立了每一个杆件的DH坐标系，即可方 便的确定联系第i坐标系和第i-1坐标系的齐次变 换矩阵。只需以下四步变换： 将 轴绕 轴转动 角，它同 平行且指 向相同； 沿 轴平移 ，使 和 轴重合； 沿 轴平移 ，使两坐标系原点重合； 绕

7、 轴转动 角，使两坐标系完全重合。 这四种变换都可用基本平移、转动齐次变换矩 阵表示，四次变换的乘积就是第i坐标系相对于 第i-1坐标系的齐次变换矩阵。由于每次变换都 是相对于新坐标系进行的，所以应按变换顺序右 乘，即： 其中， ， ，依此类推。 对于转动关节，为关节变量，d为常数； 对于移动杆件，d为关节变量，为常数。 利用 矩阵，可把杆件i上一个不动点 在第i个坐标系中的坐标变换到第i-1坐标系中， 即： 对于PUMA560机器人，其6个连杆间的齐次变换矩 阵如下： 最后求得手部坐标系在参考坐标系中的位姿为： 式中， 作为一次校核，将 ， 则T矩阵为： 4.3 PUMA560机器人运动学逆

8、问题（逆解） 运动学逆问题是指当机器人位姿确定时，求机器 人各关节变量的值。其求解方法可以用反变换 方法和几何法等，以下介绍反变换法。 在方程两端乘以 ，可得 令两端（3，4）元素对应相等，得 利用三角代换： 其中正、负号对应于 的两个可能解。 再令（1，4）和（2，4）对应元素分别相等， 两端平方相加，得： 同样可得 同样，正负号对应 有两个解。 令其中的（1，4）元素分别相等，可得 联立后可求得 同样，令（3，3）元素分别相等得 只要 ，便由（2，3）元素与（1，3 ）元素之比可求出： 同理，令由（3，1）和（3，2）元素分别相等： 当 时，机器人处于奇异位姿，此 时，关节轴4与关节轴6重

9、合，只能解出 4 和6的和值或差值。在奇异位姿时，可以 任意设定4的值，再计算6的值。 当 时， 令（1，1）和（2，1）元素分别相等， 得 PUMA560机器人的运动学逆解可能存在8 种解，在求解 和 时的正负号对应4种 可能解。另外，腕部的翻转又有两种可能 解。 虽然理论上存在8种可能解，但由于 各关节转角的限制，使得某些位姿 下的运动学逆解少于8个，在存在 多解的情况下，应选择当前的最优 解。 4.4 操作空间和关节空间 n个自由度的机器人的末端位姿有n个关节 变量所决定，这n个关节变量统称为关节矢 量，记为 由关节矢量q构成的空间称为关节空间，末 端执行器的位姿 是在直角坐标空间描述的

10、，称为操作空间 。 运动学方程是由关节空间到操作空间的映 射；而运动学逆解是由操作空间到关节 空间的映射。 目前不经任何传动机构直接驱动的机器人 较少，多数都是驱动器经过其他传动机 构（如减速机构）来驱动连杆的，所以 还存在一个由驱动空间向关节空间的变 换问题，但这种变换一般比较简单， 4.5 并联机器人运动学方程 类Stewart平台的并联机器人机构是由若干个可伸 缩的杆件将运动平台连接到固定平台上的，每 一个杆件称为并联机器人的“腿（leg)”或“分支 （limb)”。一般来说，并联机器人的杆数就等 于其自由度数。 并联机器人的优点： 并联机器人的缺点： 4.5.1 坐标系的设立 参考坐标系的建立 参考坐标系设立在固定平台上，其z轴垂直 于固定平台且指向运动平台，x轴和y轴 按方便设置； 运动坐标系（或称末端坐标系）设置在运 动平台上，一般在各关节变量为零时，w 轴与z轴同向，u、v轴分别与x、y轴平行 。 4.5.2 位姿逆解 并联机器人运动学计算与串联机器人相反，其位 姿逆解容易而正解困难。 考虑第i个分支 ，其下顶点 在参考坐标系 中的位姿矢量为 ；上顶点 在运动坐标系 中的位姿矢量为 ；杆长矢量在参考坐标系中 的位姿矢量为 ；运动坐标系原点在参考坐 标系中的位姿矢量为P。因此，可得如下矢量 方程 式中，T为运动坐标系在参考坐标系中的位姿矩 阵。 由上式可得