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1、1 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 第3节 圆的方程 最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 知 识 梳 理 1.圆的定义和圆的方程 定点定长 D2E24F0 3 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)|MC|rM在_，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外； (2)|MC|rM在_ ，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上； (3)|MC|rM在_ ，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内. 圆外 圆上 圆内 微点提醒
2、1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0. 4 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.( ) (3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.( ) (4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2 E24AF0.( ) 解析 (2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆. 答案 (
3、1) (2) (3) (4) 5 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 2.(必修2P124A1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是( ) 答案 D 6 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 3.(必修2P130例3改编)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的 方程是( ) A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24 解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2 a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b 1.所以
4、r2.所以方程为(x1)2(y1)24. 答案 C 7 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 4.(2018成都调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是( ) A.(1，1) B.(0，1) C.(，1)(1，) D.a1 解析 因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1a)2(1a)24，所以1a1. 答案 A 8 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 5.(2019荆州模拟)若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是( ) A.2 B.2 C.1 D.1 解析 由题意知直线ykx3过圆心(1，1)， 即1k3，解得k2. 答案 B 9 创新设计 考
5、点聚集突破知识衍化体验 6.(2016浙江卷)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是 _，半径是_. 解析 由已知方程表示圆，则a2a2， 解得a2或a1. 当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a1时，原方程为x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (2，4) 5 10 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点一 圆的方程 【例1】 (1)(一题多解)(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)， (2，0)的圆的方程为_. 11 创新设计 考点聚集突破知识衍
6、化体验 (2)法一 所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a). 圆C的方程为(x1)2(y1)22. 12 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2. 又圆心在直线xy0上，ab0. 故圆C的方程为(x1)2(y1)22. 13 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0， 即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0. 14 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 故所求圆的方程为x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22. 答案 (1)x2y22x0 (2)(x1)2(y1)22 15 创新设
7、计 考点聚集突破知识衍化体验 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆 的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 16 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (2)(2018枣庄模拟)已知圆M与直线xy0及xy40都相切，且圆心在直线y x2上，则圆M的标准方程为_. 又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n4. 故圆C的标准方程为x2
8、(y1)24. 17 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (2)圆M的圆心在yx2上， 设圆心为(a，2a)， 圆M与直线xy0及xy40都相切， 圆心到直线xy0的距离等于圆心到直线xy40的距离， 圆M的标准方程为x2(y2)22. 答案 (1)x2(y1)24 (2)x2(y2)22 18 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点二 与圆有关的最值问题 多维探究 角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题 【例21】 已知实数x，y满足方程x2y24x10. (2)求yx的最大值和最小值； (3)求x2y2的最大值和最小值. 19 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 20 创新设计 考点聚集
9、突破知识衍化体验 (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连 线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 21 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形 结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 22 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 角度2 利用对称性求最值 【例22】 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y
10、4)29，M，N分别 是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( ) 答案 A 23 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 规律方法 求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值 问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对 称性解决. 24 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (2)已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则 |PA|PQ|的最小值是_. 25 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 设点A
11、(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)， 连接AC交圆C于Q，由对称性可知 26 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程. 解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y). 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24. 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2). 27 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (2)设PQ的中点为N(
12、x，y). 在RtPBQ中，|PN|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10. 28 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 29 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 【训练3】 已知过原
13、点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程. 解 (1)由x2y26x50得(x3)2y24， 所以圆C1的圆心坐标为(3，0). (2)设M(x，y)， 因为点M为线段AB的中点， 所以C1MAB，所以kC1MkAB1， 30 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立， 消去y得：(1k2)x26x50. 31 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 思维升华 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方 法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. 易错防范 1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程. 2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程 后还要指明轨迹表示什么曲线. 32 本节内容结束
