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1、必修四必修四 第一章第一章 三角函数三角函数 月盈则亏是周期现象 钱塘江一线潮 由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。 1.1.1 任意角的概念 1、角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端 点旋转而成的。 初中学过的角的范围是：0至 360。 然而生活中有很多实例的角会不在该范围： 体操运动员转体720（即“转体2周”），跳 水运动员向内、向外转体1080 （“转体3周”） ； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少 度？ 这些例子中有的角不仅不在范围：0至 360 ，而且方向不同，有必要将角
2、的概念推广 到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角 ？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。 2角的概念的推广 “旋转”形成角 如图：一条射线由原来的 位置OA，绕着它的端点O按逆 时针方向旋转到另一位置OB， 就形成角 旋转开始时的射线OA叫做 角的始边，旋转终止的射线 OB叫做角的终边，射线的端 点O叫做角的顶点 “正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角，如图，以OA为始边的角=210，= 150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时 ，我们也认为这时形成了一个角，并把这个 角叫做零角即零度角（0）此时零角
3、的始边 与终边重合。 角的记法：角或可以简记成，或简 记为： . 如=-1500 ， =00， =6600 等等 角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（3602=720 ） 3周（3603=1080） 还有零角, 一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负， 就好象数零无正负一样 用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋
4、转中心、旋转方向和旋转量 （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了； （1）旋转中心：作为角的顶点. （3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360， 角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， 540等角度. 3象限角 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于 x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角 的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个 象限此时这种角称
5、为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等 4终边相同的角 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. 探究：终边相同的角都可以表示此角与 k(kZ)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=1) 30=30+0360 (k=0), 1470=30+4360(k=4) 1770=305360 (k=5) 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：| =+k360， kZ 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角
6、的和。 注意以下四点： kZ， K 0，表示逆时针旋转， K 0,表示顺时针旋转. 是任意角； k360与之间是“+”号，如k36030,应看 成(30)+ k360 ； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360的整数倍. 所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合： | =+k360， kZ 即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和。 例1. 在0360范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) 120；(2) 640；(3) 95012. 解：120=240+（-1）360， 120的角
7、与 240的角终边相同， 它是第三象限角 640=280+1 360， 640的角与 280的角终边相同， 它是第四象限角 即：00,3600) 解：95012=12948 +（-3）360， - 95012的角与 12948的角终边相同， 它是第二象限角 (3) 95012. 例1. 在0360范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角. 例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在360720间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314. 解：(1) S=| =60+k360 ，kZ , S中在360720间的角是 0360+60=60； 1
8、360+60=300； 1360+60=420 (2) S=| = 21 +k360，kZ S中在360720间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699 (3) S=| = 36314 +k360，kZ S中在360720间的角是 0360+36314=36314； 1360+36314=314； 2360+36314=35646 例2. 写出与下列各角终边 相同的角的集合S，并把S 中在360720间的角写 出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314. 例3写出终边分别落在四个象限的角的集合. 终边落在坐 标轴上的情 形 x y o 0 90 1
9、80 270 +K 360 +K 360 +K 360 +K 360 或360+ K 360 第一象限的角表示为 |k360 90 + k360,kZ； 第二象限的角表示为 | 90 + k360180 +k360，kZ； 第三象限的角表示为 | 180 + k360 270 + k360，kZ 第四象限的角表示为 | 270 + k360 360 + k360，kZ 例4、写出终边落在y轴上的角的集合. x y o 0 90 180 270 +K 360 +K 360 +K 360 +K 360 例4解：终边落在轴非负半轴和非正半轴上的角的集合分 别记为为S1，S2 S1=| =90 +K3
10、60,KZ S2=| =270+K360,KZ =| =90+180+K360,KZ =| =90+（2K+1）180，KZ 即：S2=| =90+ 180的奇数倍 同理S1=| =90+ 180 的偶数倍 终边落在轴上的角的集合为S=S1S2 S =| =90+K 180 ，KZ 课堂练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否 都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间 (0,90)内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角 2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在x轴的非负半轴上，作出下列各
11、角，并 指出它们是哪个象限的角？ (1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角. 3、已知,角的终边相同，那么的终边 在（ ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上 A 4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C 5 、已知角2的终边在x轴的上方，那么是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角 C
12、 6、若是第四象限角，则180是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 C 7、在直角坐标系中，若与终边互相垂直， 那么与之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZ D 8、若90135，则的范围是 _，+的范围是_; (0,45)(180,270) 9、若的终边与60角的终边相同，那么在 0,360）范围内，终边与角 的终边相同的 角为_; 解：=k360+60，kZ. 所以 =k120+20， kZ. 当k=0时，得角为20， 当k=1时，得角为140， 当k=2时，得角为260.
