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1、1 第七章第七章 非线性系统非线性系统 内容提要内容提要 7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性 7.2 7.2 描述函数法描述函数法 7.3 7.3 相平面法相平面法 学习指导与小结学习指导与小结 2 7.1 典型非线性特性 前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统 。事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地 带有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性 环节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都 是非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基 本概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平 面法。 3 7.1 典型非线性特性
2、 在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出 间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特 性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来 处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题 的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线 来代替，称为典型非线性特性。 7.1.1 7.1.1 典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类 1饱和特性 y x k a -a 0 M -M 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。 4 2死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零。 y x k a -a 0 3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起 ，
3、而是在输入输出曲线上出现闭合环路。又称为间 隙特性。 5 4 继电器特性 y x 0 b -b a -a y x 0ma a -a -ma b -b 6 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。 y x a -a 0 -b b y x 0 b -b (1) 若a0，称这种特性为理想继电器特性所示。 (2) 若m=1，称为死区继电器特性。 (3) 若m=-1，滞环继电器特性。 y xa-a 0 -b b 7 由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比， 非线性系统具有如下特点： （1）稳定性的复杂性。 （2）可能存在自激振荡现象 。 （3）频率响应。 7.1.2 非线性系统的若干特征 设t =
4、0，系统的初始状态为x0 1 0 x(t) t x01 x01，t 0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。 10 非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂 ，会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值 响应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程 x 1 6 2 3 4 5 11 7.1.3 非线性系统的分析方法 到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初 始条件
5、等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种： （1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性） 这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法，将 非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。它 是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不受系 统阶次的限制。 （3）相平面法（本质非线性） 相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这 是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。 （4）计算机求解法 用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于 分析和设计复杂的非线性系统是非常
6、有效的方法。 12 7.2 描述函数 7.2.1 描述函数的定义 1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节 N和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 x y NG(s) r(t)=0c(t) （2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的 。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。 13 2.描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asint 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅 氏级数 非线性环节奇对称，则有A0=0 14 由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次
7、谐波 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳 态输出只含基波分量，即 15 类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元 件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义 为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。 由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用 描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传 递能力。 16 7.2.2 描述函数的求法 （1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输 入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。 （2）利
8、用傅氏级数求出y(t) 的基波分量。 （3）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A) 。 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1. 理想继电器特性 y x 0 M 17 y x 0 M 0 x t 2 y 0 t M 2 由于输出周期方波信号是 奇函数，则傅氏级数中的直流 分量与基波余弦分量的系数为 零A0 = A1= 0，而基波正弦分 量的系数B1为 18 所以基波分量为 故理想继电器特性的描述函数为 即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数. 19 2.饱和特性 0 x t 2 y 0 t M 2 由于输出周期信号是奇函 数，则傅氏级数中的直流分量 与基波余弦分量的系数为
9、零A0 = A1= 0，而基波正弦分量的系 数B1为 y x 0 M k a 1 A a 1 20 式中1=arctan(a/A)。 可得饱和特性的描述函数为 由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值 A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环 节，当Aa时，比例系数总小于k。 21 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线 性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计 算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为 若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的 这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的 描述函数。 7.2.3 组合非线性特性的描述 1非线
10、性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是 单值函数，即它们的描述函数都是实数。 22 x(t) y1(t ) y11(t) N1 y12(t) N2 y1(t) = y11(t) + y12(t) = N1Asint + N2Asint = (N1+ N2 ) Asint N = (N1+ N2 ) 总的描述函数 若干个非线性环节并联后的总的 描述函数，等于 各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该 结论仍成立。 23 0 M 0 k x y + + x k 0 M y 例例7-17-1 一个具有死区的 非线性环节，求描述函数 N(A)。 24 解：该死区非线性特
11、性可分解为一个死区继电 器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为 2非线性特性的串联计算 必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性 特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数 。 x(t) N1 y(t) N2 z(t) 25 1 2 0 x y 例7-2 求图所示两个非线性特性串联后总的描述函 数N(A)。 k1=1 1 2 0 x z 1 2 0 z y k2=2 k=2 26 等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具 有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及 2=2的死区特性的并联相减。 27 前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述 函数，一个非线性环节就
12、可看作一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用 线性系统的频率法进行分析. 7.2.4 用描述函数法分析非线性系统 这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法 称为描述函数法，这种方法只能用于分析系统的稳定 性和自振荡。 1. 非线性系统的稳定性分析 假设非线性元件和系统满足上节所要求的描述函 数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数N(A) 来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性G(j) 表示。 28 x(t)y(t) N (A)G(s) r(t)=0c(t) 而闭环系统的特征方程为 或 式中1/N(A)叫做非线性特性的负倒描述函数(负倒特性 曲线)。 由
13、结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为 29 对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G( j) = 1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状 态。显然，1/N(A)相当于线性系统中的(1, j0)点。区 别在于，线性系统的临界状态是(1, j0)。而非线性系 统的临界状态是1/N(A)曲线。 综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统 的稳定性判别方法：首先求出非线性环节的描述函数 N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分的G( j)曲 线和非线性部分的1/N(A)曲线，并假设G(s)的极点均 在s 左半平面，则 30 (1) 若G(s)曲线不包围1/N(A)曲线，则非线性系 统是
14、稳定的。 (2) 若G(s)曲线包围1/N(A)曲线，则非线性系统 是不稳定的。 (3) 若G(s)曲线与1/N(A)曲线相交，则在理论上 将产生等 幅振荡或称为自振荡。 G( j) 0 Im -1/N(A) Re G( j) 0 Im Re -1/N(A) 31 G( j) 0 Im Re -1/N(A) M2 M1 32 2.自振荡的分析与计算 下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示 非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个 正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为 x(t)=Asint 则非线性环节输出信号基波分量为 y1(t)=N(A)A sint + N(A) 而线性
15、部分的输出信号为 c(t) =G( j)N(A)Asint + G( j)+N(A) 根据系统中存在自振荡的假设，r(t)=0，故 x(t) = c(t) 即 Asint = G( j)N(A)Asint +G( j)+N(A) 33 所以 G( j)N(A) = 1 G( j) + N(A) = G( j) 0 Im Re -1/N(A) M2 M1 d c b a M1点是稳定的自振荡 。M2是不稳定的振荡 点。 对于稳定的自振荡，其振幅 和频率是确定的，并可以测 量得到。计算时: 振幅可由1/ N(A)曲线的自 变量A 的大小来确定， 振荡频率由G( j)曲线的自 变量来确定。 34 值
16、得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知 ，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非 线性环节的输入信号x(t)=Asint的振幅和频率，而不 是系统的输出信号c(t)。 例例7-37-3 具有理想继电器特性非线性系统如图 所示，试确定其自振荡的幅值和频率。 0 1 r(t)=0 c(t) 35 解：理想继电器特性的描述函数为 G( j) 0 Im Re -1/N(A) 求G( j)与1/N(A)曲线的交点。 令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)。 Re G( j) =1.414= 1.66 A=2.136 0 1 3 r(t)=0 c(t) 例例7-47-4 设控制系统的结构图如图所示，图中死区 继电器特性的参数为a=1,b=3. (1) 计算自振荡的
