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1、信号理论及应用 （总结） 内容： n信号基本概念 n信号理论的数学基础 n信号变换 n信号空间理论的应用 n现代信号分析方法 基本要求： n基本思想 n信号分析和处理的基本方法 n信号分析方法应用 实信号的复数表示： n正交化方法 n解析信号方法 带通线性系统的复数表述： n线性系统的频域分析法 脉冲相应频率特性 随机信号的复数表示： n将对确定信号与线性系统的复数表示方法 应用到平稳随机过程。 信号的特征表示： n信号的时域描述 信号波形的时域特征： n平均时间（时间中心）： n持续时间(时宽）： 任意时间函数的平均值： n信号的频域描述 信号波形的频域特征： n平均频率（中心频率）： n带
2、宽： 任意频率函数的平均值： 频率参数的计算方法： 信号的瞬时特征： 怎样定义信号的 瞬时频率？ 平均频率: 瞬时频率: 瞬时频率定义的讨论： n物理意义？ n合理性？ 瞬时频率的讨论： n瞬时频率的悖论。 n瞬时频率可以不是信号频谱之一。 n线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续 的。 n解析信号的瞬时频率可以是负的。 n对带限信号，瞬时频率可以在带宽之外 。 第五个谬误的地方 n局部意义下的瞬时频率，需要知道全部 信号才能计算。 群延迟： n频率信号的一个重要瞬时参数。 平均时间: 群延迟: Heisenderg不确定原理: 更精确的不确定原理： 第二章 信号空间 -信号理论的数学基础 n集合
3、论基础 集合: 具有某种特定性质的事物的总体。 信号的集合表示： n正弦 信号 n周期信号 n能量有限信号 n带宽有限信号 关系: n元素与集合的关系 属于 不属于 n 集合与集合之间的关系 包含 集合的划分和等价： 划分： S=S1S2 S3 等价： 集合元素间的一种关系 记作. 满足： 自反性：x x 对称性：x y y x 传递性：x y与 y z x z 集合的运算： 并集： 以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B 的并（集）； 记作AB（或BA） 交集： 以属于A且属于B的元素构成的集合。 记作AB（或BA）， 即AB=x|xA,且xB 映射 n定义 集合上的运算： n群 一个
4、集合X,在这个集合上有一个被称作 乘法的内部运算。且满足： n环 一个集合X,在这个集合上有两个分别被称 作乘法与加法的内部运算。且满足： n环的恒等元 nAbel环 在乘法运算下，还是一个Abel群的环。 n域 一个具有恒等元的环，且满足 除零（加法的恒等元）以外的所有 元素都有逆元。 n模 在一个Abel群上再加上一个被称为 数乘的外部运算。 n代数 一个在具有恒等元的环R上的模A，再加 上一个内部可结合运算（乘法）。 nLebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分 f(x) x Riemann积分 x Lebesgue积分 f(x) 实变函数介绍： 几乎处处收敛：
5、 n控制收敛定理 nFubili定理 距离空间（度量空间） n距离的定义 A，d称为距离空间 赋范线性空间 设X是一个线性空间，若存在X上的一个泛 函，满足： 1)非负性: 2)齐次性： 3)三角不等式： 则称X是赋范线性空间。 内积空间 设X是一个复线性空间，若存在一个二元 映射，满足： 1)线性性:=a+b 2)对称性： = 3)非负性： 则称X是一个内积空间。 赋范线性空间中的收敛概念： 完备性： 完备的赋范线性空间称为Banach空间。 信号空间的不等式和正交概念： 勾股定理 合理性？ 第三章 信号的矢量表示 线性独立、基和维数: n线性独立 （线性空间的概 念） 线性独立保证表示的唯
6、一性。 n基 空间的最大线性独立组 线性空间的基不是唯一的。 维数 最大线性独立组中矢量的个数。 分析： 解线性方程组 矩阵表示： 称a为信号x的矢量表示（相对基） 正交基： 双正交性 双正交基（逆转基）： L2空间信号的最佳逼近和投影定理： n问题 有限维空间M以外的信号如何表示： 思路 有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。 n投影定理： 最小均方下的最佳逼近 多维空间中的最佳逼近： 问题的描述： ？ 证明： 正交投影的计算： 解线性方程组 基的正交化： nGram-Schmidt正交化过程 问题： 找一组两两正交的单位矢量e1 e2 en 使e1 e2 en与a1 a2 an等价
7、。 称为把a1 a2 an 规范正交化问题。 随机信号的正交展开： n希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。 用一组随机变量表示随机信号。 第四章 信号空间的线性算子 n信号处理系统 由完成各种基本运算的部件组成。 （放大、滤波、调制、检测） S 信号离散表示推广到连续函数。 1.信号的积分变换与表示: 积分变换核函数 可逆性分析： 可逆条件 自对偶 2. 线性变换（线性算子） n定义 n线性算子的运算（加、数乘） n线性算子的范数 （赋范线性空间） n线性算子空间构成一个代数。（算子乘法） 线性变换（线性算子）空间 线性算子空间 n线性算子的范数 线性算子的全体构成赋范线性空间 。 线性算
8、子范数的其他表述 3. 有限维内积空间的线性算子 空间的基 基的变换响应 4. L2空间的线性算子 输入信号 输出信号 t:自变量 s:参变量 L2空间的线性算子的三种表示 ： 信号变换 基变换 分量密度函数 变换 线性算子的第三种表示： 变换核函数 5.线性算子的实例 非时变算子 恒等算子 乘法器 微分算子 时间平均算子 理想滤波算子 匹配滤波（相关）算子 6. L2空间线性算子的有限维近似 如何解决无限维空间上算子实现的困难？ 思路1： 将线性算子的定义域限制在有限维空间上； 7. 算子的谱表示 算子的特征值 特征矢量 什么是算子的最佳表示方式？ 算子的表示和实现将非常简单！ 伴随算子 伴
9、随算子 算子特征值和特征矢量的计算 怎样确定特征值和特征矢量？ 算子特征值和特征矢量的计算 矩阵的特征值和特征矢量求解 第五章 信号空间理论的应用 信号的数字特征信号的泛函 信号、系统的最优设计泛函极值问题 怎么得到？ 1.线性泛函 n具有运算线性性的泛函 定义： 内积空间中线性泛函的表示方式 ？ 由内积导出的泛函 有界性 连续性 定理： Hilbert空间中任意连续线性泛函均可 表示为内积形式。 唯一； 变换核 在信号处理中 ，意味作什么？ 2.双线性泛函与二次泛函 n具有双线性性的二元泛函 定义： 内积是双线性泛函 定理： Hilbert空间中任意连续双线性泛函均 可表示为： 在信号系统中
10、，滤波器是其中重要部件之一。 滤波器的作用： 增强信号 抑制噪声 3.最佳滤波器设计问题 信号检测性能取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平 均功率之比。（信噪比） 信噪比越大，错误判决的概率就越小；信噪比越小，错 误判决概率就越大。 目标： n设计滤波器，使输出信号的信噪比最大。 4.信号分辨理论（模糊函数） n信号可分辨程度的度量 距离： 差异由什么造成？ 影响信号分辨能力的因素有哪些？ 物理意义 ？ 信号质量检测方法信号形式 n模糊函数 两个目标回波复包络的时间-频率复合自相关函数 。 第六章 信号的时频分布 时频分布的基本思想： n建立一个函数，使其能够同时用时间和 频率来描述信号的能量
11、密度分布。 n这个函数还能提供计算能量密度分布的 方法。 能量密度分布的条件： n边缘条件： 时间和频率位移不变性 n时域位移不变性 频域位移不变性 线性尺度变换： 瞬时频域与群延迟： 短时傅立叶变换 对Fourier变换的修补 频谱图 Wigner_Ville分布的定义 Wigner_Ville分布的问题： n非负性问题 Wigner_Ville分布丢掉了作为能量密度 分布的一个基本性质。 非负性不成立。 Wigner_Ville分布的问题： n交叉项干扰问题 交叉项抑制方法： n加窗 称为伪Wiger_Ville分布（PWD） 非负性的解决方法： n平滑 Cohen类时频分布： nCohen指出： 信号的时频分布可以表示为： 小波变换 连续小波变换的定义： 二进小波变换的定义： 对连续小波的离散化处理： 多尺度（分辨）分析的定义： nMallat算法（塔式算法） 其在小波变换中的地位等同于 FFT在Fourier变换中的地位。 小波变换的主要应用领域： n信号分析 n图像处理
