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1、微型热声热机中的热声学研究摘 要 当热声热机的尺寸很小时，其内部流动为稀薄气体流动，此时带非滑移速度边界的Navier-Stokes方程不能准确刻画这种流动。本文针对微型热声热机，考虑了速度的滑移边界和温度的跳跃边界，利用线性化技术，对其内的热声进行理论建模，该模型统一了Kn0.1的热声线性理论。基于该理论模型，探讨了热渗透深度、板叠间距对声功的影响，以及讨论了热渗透深度、板叠间距、板叠位置、板叠长度对临界温度梯度的影响。关键词 微型热声热机；滑移边界；声功；临界温度梯度0 前言由于环境友好、高可靠性和可接受的效率，热声热机做为一种能量转换装置具有广泛的应用，从大型的太阳能发电厂到微型的发电机
2、和电子元件冷却，覆盖了各种尺度范围1 -3 . 对于大型或者中小型的热声热机，Greg Swift在书1 中做了详细的研究. 但微电子系统中(MEMs)，由于稀薄气体流动发生，气体平均自由程在热传导、粘性耗散等过程中起到很重要的作用. 因此必须考虑一个重要的参数努森数(Kn). 另外，在超声高频热声热机中4 ，由于频率非常高，热渗透深度很小，所以只有几个热渗透深度宽的板叠间距也很小，因此导致的增加(这里表示气体平均自由程)。Ref4 指出，当操作频率超过23KHz时，Kn数会超过0.01。当Kn0.01时, 热声热机里面的流动，属于滑流区5 ，在这种情况下，用非滑移边界已经不适合，必须采用滑移
3、边界，并且还需要考虑在边界(版叠)处温度的跳跃. 当0.01Kn0.1时，带滑移边界的Navier-Stokes方程可以用来刻画微型热声热机中的稀薄稀薄气体流动. 同时，在高频微型热声热机里面，波长l比热渗透深度dk大很多，即ldk，比如标准大气压下，温度为375K，操作频率为23KHz时，l0.05，dk2.3410-5.因此Rott的很多简化假设依然成立。虽然Swift基于线性理论给出热声学的详细理论研究，这些理论研究结果不适合于尺度非常小的微型、微小型或者更小尺度的热声热机。Matveev 等6 实验研究了小尺度的热声热机，并进行了理论建模，但在理论建模的过程中，并没有考虑Kn的影响.
4、Avshalom Offner等7 对微尺度热声热机进行了理论建模，并考虑了Kn的影响，但在用滑移速度边界时，并没有考虑温度梯度的影响，而Ref.5 指出温度梯度对速度边界是有影响的. 当Kn0.1时，属于过度区，流场只能通过Boltzmann方程来刻画. Ref.8 和9 分别利用数值模拟方法和理论建模的方法，分析了这种情况的热声热机，这些都是基于Boltzmann方程。对这种情况，现在还没有类似于Rott和Swift热声线性理论的完备理论。本文将针对0.01Kn0.1时的微型热声热机进行理论建模，并探讨该情况下Kn数、热渗透深度、板叠间距、板叠位置、板叠长度对声功以及临界温度梯度热声学变量
5、的影响。1 理论建模简单的驻波热声热机如下图1.所示，类似Ref.1 中的方法, 采用线性理论技术，假设是平行板叠. 一阶谐波振动可压缩底马赫流x0ls2rhxy图1.一个简单的驻波热声热机线性化动量方程得： (1)考虑到滑移边界，以及对称边界, (2)其中为气体平均自由程, 是气体运动粘性系数，为气体常数. 线性化能量方程 (3)结合温度跳跃边界条件，以及对称边界， (4)其中为比热，Pr为普朗特常数. 解方程可得(1)-(4)可得： (5) (6)其中粘性渗透深度，热渗透深度，为气体的定压比热， , , , , , , 是的截面平均, 是的截面平均. 显然，当Kn=0时，都是1.在式(5)
6、和(6)的两端取截面平均，得截面平均的一阶速度和一阶温度 (7) (8)由(7)可知 (9)通过线性话连续性方程，可得=把(8)式带入上式可得：= (10)显然，当Kn=0时，都是1，此时(9)-(10)与Rott的热声线性理论结果是一样的. 因此(9)-(10)是Swift线性理论结果的推广. 接下来考察产生或者消耗的声功。由Swift的结果1 可知，声功通量把(9)-(10)式带入上式可得 (11)其中， , 2 分析与讨论 本节将基于上述理论模型(9)-(11)，驻波制冷机为例，讨论参数对声功通量中个系数的影响，以及探讨、板叠位置、板叠长度对临界温度梯度的影响。2.1 物理参数设置计算中
7、用1个大气压下375K时的氦气做为工质，冷端温度设置为325K。气体具体物性参数以及相关操作参数见下表1.表1 部分物理参数参数名称参数值参数名称参数值环境温度 Ta375K冷端温度 Tc325K比热g1.6666普朗特常数Pr0.6628平均压强pm101325 Pa操作频率23KHz气体常数 R2077平均密度 rm0.13 kg/m3声速 a波长 la/ f板叠中心位置x0l/8板叠长度 ls0.1 l/2当操作频率为24KHz时，波长为=0.005m，=3.86310-5，当rh=23时，Kn0.0125.2.2 对几个参数的影响由于粘性渗透深度和热渗透深度可以通过普朗特常数联系起来，
8、因此(9)-(11)式中各参数都认为与有关系，下面首先来看看这些参数关于的变化。图2. 对的影响 (ls=0.1 l/2, x0= l/8)从图2可以看出，总是非负的，说明粘性总是耗散声功，并且当越小，也就是越小，管道越窄，耗散越多，这是符合常理的。0.51.5时，Kn有比较明显的影响。并且如果不考虑Kn的话，粘性耗散被放大。图3. 对的影响 (ls=0.1 l/2, x0= l/8) 从图3可以看出，总是非负的，这表明热驰豫总是带来声功耗散，并且当板叠宽度约为一个热渗透深度时，声功热驰豫耗散最多。并且当1.2时，Kn数越大，声功耗散减少。并且Kn0.01后，影响明显增大。图4. 对的影响(l
9、s=0.1 l/2, x0= l/8) 从图4可以看出10-12很小，但考虑到与之相乘的是，在微型热声热机里面和都不会很小，因此考虑Kn的情况下依然不可以忽略。来源于速度滑移边界的第二项，所以在热声热机中的滑移边界时，有必要考虑温度梯度的影响。图5. 对的影响(ls=0.1 l/2, x0= l/8)从图5可以看出，的实部总是非负的，并关于是单减的，关于Kn也是单减的；而的虚部总是小于0，并在=1附近处达到最小。当1时，的虚部关于Kn也是单增。并且Kn0.01后，影响明显增大。图6. 对Reg2的影响(ls=0.1 l/2, x0= l/8)图7. 对Img2的影响(ls=0.1 l/2, x
10、0= l/8)从图6-7可以看出，当不考虑Kn时，g2=0；当考虑Kn时，g2的实部和虚部的实部虚部都是非负的，并随着的增大而减小，也随Kn数的增大而减少，g2的实部和虚部都不是很大，但考虑到板叠长度一般很短，比较大，所以g2还是不能忽略，该项也来自与滑移速度边界的第二项。从图2至图7，不难看出，(11)式左边3项是耗散声功的，第四项是产生声功的。并且越小，耗散得越多。第四项是产生声功的，越小，声功产生的越多。因此，这里应该有一个合适的，使得总的输出声功最大或者总消耗的功最少。2.3 对临界温度的影响板叠两端的温度差的临界值临界温度梯度是一个重要参数。当温度差小于临界温度梯度时，是热声制冷机，
11、反之是热声发动机。通过对(11)式在板叠上积分，如果积分值为0，则对应的温度梯度为临界温度梯度。为了简单起见，用如下的驻波近似把上式代入(11)式，并在板叠上积分，得 (12)令=0，解方程可以得到.图8. 对临界温度梯度的影响(ls=0.1 l/2, x0= l/8)从图8可以看出临界温度梯度关于是非线性的. 当0.65时，滑移速度边界和跳跃温度边界使得临界温度梯度变小. 0.650.01时，Kn的影响变得更加明显，在此说明当Kn0.01时，必须考虑Kn的影响。2.4 板叠位置x0对临界温度的影响图9. 板叠位置x0对临界温度的影响(ls=0.1 l/2, =0.65)从图9描述了x0从3l
12、/40变化到3l/40时临界温度梯度的变化. 从图中可以看出板叠越向左偏离，临界温度梯度越大，向右偏离，临界温度梯度减少。当x0l/8时，Kn数越大，临界温度梯度也越小。这也说明了Kn影响了临界温度与板叠位置的关系。2.5 板叠长度ls对临界温度的影响图10. 板叠长度ls对临界温度的影响(x0= l/8, =0.65)图10描述当板叠长度ls 由0.025l/8变化到0.15 l/8时三种不同Kn数下临界温度的变化. 注意，由图8知，当=0.65, x0= l/8和ls=0.1 l/2时，三个临界温度值是相同的。 由图10进一步可以看出，当x0= l/8, =0.65时，临界温度值并且关于板
13、叠长度单增。这是容易理解的，因为板叠越长，声功耗散就越多。但临界温度值与板叠长度的关系与Kn数无关，4 结 论本文采用带滑移速度边界和跳跃温度边界的Navier-Stokes方程，利用线性化技巧，针对微型热声热机对中的热声学进行建模，该模型统一了Kn数小于0.1的线性热声理论。本在此模型的基础上，讨论参数对声功通量中个系数的影响，以及探讨、板叠位置、板叠长度对临界温度梯度的影响。从图2-图9可以看出，Kn影响着声功通量计算中每个系数，也影响着板叠位置与临界温度梯度的关系，并且当Kn0.01时，这种影响非常明显，所以在微型热声热机中，有必要考虑Kn的影响。参考文献1 Greg Swift. Th
14、ermoacoustics: a unifying perspective for some engines and refrigerators, 2002 (Acoustical Society of America, Sewickley, PA).2 K Matveev, A Wekin, CD Richards, N Shafrei-Tehrany. On the coupling between standing-wave thermoacoustic engine and piezoelectric transducer. In Proceedings of the International Mechanical Engineering Congress & Exposition, ASME, Seattle, WA, 2007.3 W.M. Yang, K.J. Chua, J.F. Pan, D.Y. Jiang, H. An. Development of micro-thermophotovoltaic power generator with h
