《弹塑性力学总复习.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹塑性力学总复习.doc（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、弹塑性力学总复习 弹塑性力学课程 第一篇 基础理论部分 第一章 应力状态理论 1.1 基本概念 1 应力的概念 ?P应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力F?lim ?s?0?s 由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力?和微分面上的剪应力?。 注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。 2 一点的应力状态 （1）一点的应力状态概念 凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。 （2）应力张量 物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的
2、问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为 ?x?xy?ij?yx?y?zx?zy? ?xz?yz? ?z? ? 若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面?上的应力矢量p就可以由以下公式 求出： p?x?xl?xym?xzn p?y?yxl?ym?yzn （1-1a） （1-1b） （1-1c） p?z?zxl?zym?zn 由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p、正应力?和剪应力?v： p?22px?p2y?pz （1-2a） （1-2b） ?xl2?ym2?zn2?2?xylm?2?yzmn?2?zxnl ?p2?2 （1-2c） （
3、3）主平面、主方向与主应力 由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。 主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题： ?ijni?nni （1-3） 式中，?ij为该点应力张量分量构成的矩阵，?n为主应力，ni为主方向矢量。 由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力?n必然存在。求解主应力?n的特征方程如下： 32?n?I1?n?I2?n?I3?0 （1-4a） 式中，I1、I2和I3分别称
4、为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且， I1?x?y?z?1?2?3 （1-4b） I2?x?xy?y?yz?z?zx?xy?yyz?zzx?x （1-4c） 222?x?y?y?z?z?x?xy?yz?zx?(?1?2?2?3?3?1) ?x?xy?xz I3?yx?y?yz?1?2?3 ?zx?zy?z（1-4d） 应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。 （5）最大剪应力 在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定?1?2?3，则最大剪应力出现在过?2主应力轴而平分?1和?3轴的微分面上，并且 ?max?1?3 2 （1-5） （6）应力球量与应力偏量应力张量的分解
5、 ?ij?sij 0（1-6） ?x?m0?xy?xz?0?和sij?yx?y?m?yz?分别称为应力球量和?zx?m?zy?z?m?m?式中，?0?0?m0 应力偏量，并且 ?m?I1/3?(?x?y?z)/3。 对应力偏量，可以类似于应力张量那样，得到其主值及其三个不变量： 32sn?J1sn?J2sn?J3?0 （1-7a） （1-7b） J1?sx?sy?sz?s1?s2?s3?x?y?z?3?m?0 22J2?sxsy?sysz?szsx?sxy?s2yz?szx ?(s1s2?s2s3?s3s1)?(s1?s2s2?s3s3)/2?1(?1?2)2?(?2?3)2?(?3?1)22
6、22?(?x?y)2?(?y?z)2?(?z?x)2?6(?xy?yz?zx)6 （1-7c） x?m?xy?xzJ3?yx?y?m?yz?s1s2s3 ?zx?zy?z?m （1-7d） （7）八面体上正应力和剪应力 ?8?(?x?y?z)/3 ?8? ? 2 13 222 ?x?y)2?(?y?z)2?(?z?x)2?6(?xy?yz?zx) （1-8a） J2 （1-8b） 1.2 静力平衡方程 ?x?yx?xz?X?0 ?x?y?z （1-9a） ?yx?x ? ?y?y ? ?yz?z ?Y?0 （1-9b） ?zx?zy?z ?Z?0 ?x?y?z （1-9c） 1.3 静力边界条
7、件 三类边界：位移边界、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条件的表示形式： ?xl?xym?xzn?X ?xyl?ym?yzn? ?zxl?zym?zn? （1-10a） （1-10b） （1-10c） 第二章 应变状态理论 2.1 基本概念 1位移、变形与应变 位移：物体内各点位置的变化。变形：刚体位移+形状的改变。描述物体内微元体形状改变的物理量，称为应变。 应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变。正应变用于描述微分平行六面体棱边的相对伸长量，剪应变用于描述棱边间夹角的变化。 2一点的应变状态 （1）应变张量 与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进应变张量的概念。在
8、直角坐标系里，应变张量可表示为 ?x? ?ij?yx?zx?xy?xz?y?yz? ?zy?z? （2）应变主方向、主应变与应变张量的不变量 对物体内任一点，至少都可以找到3个相互垂直的方向，沿这些方向的微分线段在物体变形后仍相互保持垂直，具有这种性质的方向称为应变主方向，把这样方向的微分线段的正应变，称为主应变。 与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求解在数学上也归结为求解一个特征问题： ?ijni?nni （2-1） 求解主应变?n的特征方程如下： 3'2''?n?I1?n?I2?n?I3?0 （2-2a） ''式中，I1'、I2和
9、I3分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。并且， 'I1?x?y?z?1?2?3 （2-2b） 'I2?x?xy?y?yz?z?xy?y?yz?z?zx?zx?x （2-2c） 222?x?y?y?z?z?x?xy?yz?zx?(?1?2?2?3?3?1) ?x?xy?xz 'I3?yx?y?yz?1?2?3 ?zx?zy?z（2-2d） （4）应变球量与应变偏量应变张量的分解 ?ij?eij （2-3） （5）体积应变? ' ?x?y?z?I1（2-4） 2.2 几何方程（Cauchy方程） ?v?u?w，?y?，?z? ?x?y?x?z ?xy?u?v?
10、v?w?u?w?，?yz?，?zx? ?y?x?z?y?z?x（2-5） 应注意工程剪应变?ij与应变张量分量?ij之间的区别：?ij?2?ij 2.3 应变协调方程（Saint Venant方程）保证物体连续性的必要条件 ?2?x ?y2?2?y ?x2?2?xy ?x?y ?2?yz ?y?z （2-6a） ?2?y ?z2 ?2?z?2?z?z2?2?x? （2-6b） ?2?zx? 22?z?x?x?z?yz?zx?xy?2?x?(?)?2 ?x?x?y?z?y?z（2-6c） （2-6d） ?2?y?zx?xy?yz?(?)?2 ?y?y?z?x?z?x ?xy?yz?zx?2?z?
11、(?)?2 ?z?z?x?y?x?y（2-6e） （2-6f） 第三章 本构方程 3.1 基本概念 1线弹性体的广义Hooke定律 ?ij?cijkl?ij （3-1） 2弹性应变能的概念 由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹性应变能称为应变能密度，用u0表示。 对弹性体，应变能密度函数可表示为以下的一般形式： ?iju0(?ij)?0?ijd?ij （3-2a） 对线弹性体，应变能密度函数的形式如下： 11 u0(?ij)?ij?ij?(?x?x?y?y?z?z)?xy?xy?yz?yz?zx?zx 22 （3-2b） 3几种常见的弹性体的基本概念 （1） 各向
12、异性弹性体 （2） 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 （3） 正交各向异性弹性体 （4） 横贯各向同性弹性体 （5） 各向同性弹性体 以上各种弹性体的概念，应注意结合实际工程背景去理解。 4各向同性弹性体的本构方程 （1）用应力表示应变的形式 ?x?y?z? 1 ?x?(?y?z) E 1 ?y?(?x?z) E 1 ?z?(?x?y) E （3-3a） ?xy? ?xy G ，?yz? ?yz G ，?zx? ?zx G ，剪切模量G? E 。 2(1?) （2）用应变表示应力的形式 ?x?2?x?(?x?y?z) ?y?2?y?(?x?y?z) （3-3b） ?z?2?z?(?x?y?z) ?xy?xy，?yz?yz，?zx?zx E?E ，?G?。 (1?)(1?2?)2(1?) 式中，?、?称为拉梅常数，而且? 5体变能与畸变能的概念弹性应变能的分解 体变能 应力球量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，体变能uov可表示为uov? E12 为体积模量。 I1，K? 3(1?2?)18K 畸变能 应力偏量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，畸变能uod可 表示为uod?1se?2ijij 132J2?8 2G4G 6屈服、屈服条件、屈服函数、屈服面与加载条件、加载函数和加载面的概念 屈服：首次由弹性变形状态进入塑性变形状态的界限。屈服概念可以
