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1、3.7 改善控制系统动态性能的方法 本节只介绍两种简单的时域综合方法， 更为复杂、 更为有效的方法将在后续的章节中予以介绍。 速度反馈（微分负反馈）； 比例+微分（PD）控制。 1 3.7.1 速度反馈（微分负反馈） 典型二阶系统的开环传递函数为 如果可以对输出量 的速度信号进行测量， 并将输出量的速度信号反馈到系统的输入端与偏差比较 则构成带有速度反馈的二阶系统。 2 - - 3 - 系统的闭环传递函数为 4 其中 引入速度反馈以后，系统的阻尼比比原来的大。 从而可以提高系统的各项性能指标。 5 【例3-4】 二阶系统的方块图如下 - - 要求闭环系统的超调量 ，峰值时间为 ，求放大器的放大
2、倍数和速度反馈系数。 6 【解】系统的开环传递函数为 系统的闭环传递函数为 7 题目给定的性能指标 可以求得 ， 根据前面得到的 求得 ， 8 3.7.2 比例+微分控制（PD控制） Proportional and Differential Control 比例增益 微分增益 + + - 9 PD控制器的传递函数 微分信号具有预测作用，有助于改善系统的动态 性能。 10 以欠阻尼二阶系统为例，讨论比例+微分控制对改善 系统动态过程的作用。 + + - 假设上图中 11 + + - 在没有PD控制作用的情况下，闭环传递函数为： 即 12 引入PD控制器后的闭环系统传递函数为 13 求得 14
3、和 属于PD控制器的参数， 只要适当的选取参数 和 ，就可以增大系统的 阻尼比和无阻尼振荡频率， 使系统的快速性和平稳性都得以改善。15 采用PD控制以后，引入了一个闭环零点 闭环零点为： ， 在选择参数 和 时， 如果能够保证这个零点 远离虚轴， 则校正后的闭环极点就成为系统的主导极点。 此时可按照标准二阶系统来估算动态性能指标。 16 【例3-5】采用PD校正的控制系统如图所示， - 要求系统的动态过程指标为： 求PD校正参数 和 。 17 【解】在没有校正的情况下， 可求出相应的指标为 ， 。 可见，动态过程的指标不满足要求。 18 采用PD校正后 其中相应的参数为： 为了满足指标要求
4、19 按照标准二阶系统计算 解出 选择 可求得 20 注释 采用PD校正后，系统必然会引入一个零点， 具有零点的二阶系统， 动态性能指标没有准确简捷 的计算公式，只能作近似估算， 工具进行数字仿真， 或者利用MATLAB 通过仿真来确定参数。 21 3.8 线性系统的稳定性 本节只研究线性定常系统的稳定性。 3.8.1 稳定的基本概念 硬杆摆的例子 a b 平衡点 稳定的 不稳定的 22 线性定常系统 其运动微分方程为 当 时， 其输出及其各阶导数都为零， 则系统会静止在 点。 23 如果对系统施加一个瞬时冲击作用 ， 其输出信号 最终能够达到 ，并且静止 在 ，则认为该线性定常系统是稳定的，
5、 否则认为该线性定常系统是不稳定的。 判断线性定常系统是否稳定的依据是： 单位脉冲响应 24 3.8.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 线性定常系统的单位脉冲响应的拉氏变换为 25 相应的闭环极点为 共有 个闭环极点。 26 当且仅当系统的闭环极点全部具有负实部时， 单位脉冲响应 系统是稳定的。 若系统的闭环极点至少有一个具有正实部， 则 系统是不稳定的。 27 若系统的闭环极点至少有一个具有零实部， 则 趋于常数或者是等幅正弦振荡， 系统是临界稳定的。 线性定常系统的稳定性取决于闭环传递函数的极点， 即方程 的根。 闭环系统的特征方程 28 【定理】线性定常系统稳定的充分必要条件是： 闭环
6、系统特征方程的根全部具有负实部。 闭环系统传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。 BIBO稳定 有界输入有界输出稳定 稳定 临界稳定 在工程上是无意义的。 29 一个重要结论 线性定常系统的稳定性取决于系统本身的结构 与参数，是系统的固有属性，与系统的输入信号及 初始条件均无关。 30 3.8.3 劳斯(Routh)稳定判据 劳斯稳定判据的优点在于无需求解高次代数方程， 而直接根据方程的系数来判断其根的分布情况。 闭环系统的特征方程： 如果特征方程同时满足下列3个条件， 劳斯稳定判据 则闭环系统是稳定的。 31 1特征方程的各项系数 都不等于零， 即方程按降幂排列不缺项； 2特征方程的各项系
7、数全部都是正实数； （注：各项系数全部都是负实数的情况可以变换成正 实系数方程。） 3将特征方程的各项系数排列成劳斯列表， 表中的第一列各元全部大于零。 32 劳斯列表 第一列 33 34 35 劳斯列表的性质 1在计算劳斯列表时，某一行各元同时乘以或除以 同一个正数， 不影响稳定性的判断结果， 往往可简化后续的运算。 这种乘除 2劳斯列表第一列各元自上而下符号改变的次数等于 闭环系统特征方程中具有正实部的根的个数。 36 【例3-6】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 【解】 显然，本例满足劳斯判据的前两条， 下面计算劳斯列表 37 135 240 15 0 -60 5 自
8、上而下符号改 变2次，有2个正 实部根，系统不 稳定。 38 【例3-7】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性，并确定正实部根 的数目。 【解】该特征方程不满足劳斯判据的第二条， 所以系统不稳定。为了确定正实部根的数目， 必须列出劳斯列表： 39 1-2530 1-190 -630 -140 30 自上而下符号改 变2次，有2个正 实部根，系统不 稳定。 40 计算劳斯列表时出现的特殊情况 1劳斯列表某一行的第一个元为零， 而其他各元 不为零或不全为零。 在计算下一行时，会出现分母 为零的现象。 解决的方法之一： 令 ，构成以 为未知数的代数方程， 这个代数方程正实部根的个数与原
9、特征方程的一样。 41 【例3-8】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 【解】对原特征方程列写劳斯表： 125 120 05以下无法计算 42 令 ， 对此方程列写劳斯表。 43 521 210 -12 5 2 自上而下符号改 变2次，有2个正 实部根，系统不 稳定。 44 解决的方法之二： 任意正实数 正实部根的 数目相等。 45 在上例中， 对此方程列写劳斯列表。 46 137 245 29 -55 11 5 自上而下符号改 变2次，有2个正 实部根，系统不 稳定。 47 2劳斯列表某一行所有元均为零 解决方法 用全零行的上一行系数构造一个辅助方程 并将此方程对s求导数，
10、 所得导数方程的系数取代 全零行的各元，然后继续编排劳斯列表。 48 【例3-9】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 【解】按照D(s)=0列写劳斯列表： 11 22 00 49 用 行构造一个辅助方程 对s求导数得 继续列写劳斯列表 11 22 0040 2 50 劳斯列表的第一列各元全正，但不能说明系统稳定。 因为辅助方程 的根 是原特征方程的根， 所以系统是临界稳定的。 51 例3-10【例3-10】系统的特征方程为 求该系统正实部特征根的数目。 【解】因为特征方程各项的系数有正有负， 所以系统不稳定。 1-4-7 10 44-8 0 52 1-4-7 10 44-8 0 -5-510各元均除以5 -1-12 00辅助方程 求导得-4-2 2各元均乘以2 -14 -18 4 变号2次，说明有2个 正实部特征根。 53 辅助方程 的根为 说明特征方程还有一对纯虚根。 54 本次课内容总结 改善控制系统动态性能的方法 线性系统的稳定性 速度反馈 比例+微分控制（PD控制） 稳定的基本概念 线性定常系统稳定的充分必要条件 劳斯(Routh)稳定判据 55
