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1、3.7 改善控制系统动态性能的方法 本节只介绍两种简单的时域综合方法, 更为复杂、 更为有效的方法将在后续的章节中予以介绍。 速度反馈(微分负反馈); 比例+微分(PD)控制。 1 3.7.1 速度反馈(微分负反馈) 典型二阶系统的开环传递函数为 如果可以对输出量 的速度信号进行测量, 并将输出量的速度信号反馈到系统的输入端与偏差比较 则构成带有速度反馈的二阶系统。 2 - - 3 - 系统的闭环传递函数为 4 其中 引入速度反馈以后,系统的阻尼比比原来的大。 从而可以提高系统的各项性能指标。 5 【例3-4】 二阶系统的方块图如下 - - 要求闭环系统的超调量 ,峰值时间为 ,求放大器的放大
2、倍数和速度反馈系数。 6 【解】系统的开环传递函数为 系统的闭环传递函数为 7 题目给定的性能指标 可以求得 , 根据前面得到的 求得 , 8 3.7.2 比例+微分控制(PD控制) Proportional and Differential Control 比例增益 微分增益 + + - 9 PD控制器的传递函数 微分信号具有预测作用,有助于改善系统的动态 性能。 10 以欠阻尼二阶系统为例,讨论比例+微分控制对改善 系统动态过程的作用。 + + - 假设上图中 11 + + - 在没有PD控制作用的情况下,闭环传递函数为: 即 12 引入PD控制器后的闭环系统传递函数为 13 求得 14
3、和 属于PD控制器的参数, 只要适当的选取参数 和 ,就可以增大系统的 阻尼比和无阻尼振荡频率, 使系统的快速性和平稳性都得以改善。15 采用PD控制以后,引入了一个闭环零点 闭环零点为: , 在选择参数 和 时, 如果能够保证这个零点 远离虚轴, 则校正后的闭环极点就成为系统的主导极点。 此时可按照标准二阶系统来估算动态性能指标。 16 【例3-5】采用PD校正的控制系统如图所示, - 要求系统的动态过程指标为: 求PD校正参数 和 。 17 【解】在没有校正的情况下, 可求出相应的指标为 , 。 可见,动态过程的指标不满足要求。 18 采用PD校正后 其中相应的参数为: 为了满足指标要求
4、19 按照标准二阶系统计算 解出 选择 可求得 20 注释 采用PD校正后,系统必然会引入一个零点, 具有零点的二阶系统, 动态性能指标没有准确简捷 的计算公式,只能作近似估算, 工具进行数字仿真, 或者利用MATLAB 通过仿真来确定参数。 21 3.8 线性系统的稳定性 本节只研究线性定常系统的稳定性。 3.8.1 稳定的基本概念 硬杆摆的例子 a b 平衡点 稳定的 不稳定的 22 线性定常系统 其运动微分方程为 当 时, 其输出及其各阶导数都为零, 则系统会静止在 点。 23 如果对系统施加一个瞬时冲击作用 , 其输出信号 最终能够达到 ,并且静止 在 ,则认为该线性定常系统是稳定的,
5、 否则认为该线性定常系统是不稳定的。 判断线性定常系统是否稳定的依据是: 单位脉冲响应 24 3.8.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 线性定常系统的单位脉冲响应的拉氏变换为 25 相应的闭环极点为 共有 个闭环极点。 26 当且仅当系统的闭环极点全部具有负实部时, 单位脉冲响应 系统是稳定的。 若系统的闭环极点至少有一个具有正实部, 则 系统是不稳定的。 27 若系统的闭环极点至少有一个具有零实部, 则 趋于常数或者是等幅正弦振荡, 系统是临界稳定的。 线性定常系统的稳定性取决于闭环传递函数的极点, 即方程 的根。 闭环系统的特征方程 28 【定理】线性定常系统稳定的充分必要条件是: 闭环
6、系统特征方程的根全部具有负实部。 闭环系统传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。 BIBO稳定 有界输入有界输出稳定 稳定 临界稳定 在工程上是无意义的。 29 一个重要结论 线性定常系统的稳定性取决于系统本身的结构 与参数,是系统的固有属性,与系统的输入信号及 初始条件均无关。 30 3.8.3 劳斯(Routh)稳定判据 劳斯稳定判据的优点在于无需求解高次代数方程, 而直接根据方程的系数来判断其根的分布情况。 闭环系统的特征方程: 如果特征方程同时满足下列3个条件, 劳斯稳定判据 则闭环系统是稳定的。 31 1特征方程的各项系数 都不等于零, 即方程按降幂排列不缺项; 2特征方程的各项系
7、数全部都是正实数; (注:各项系数全部都是负实数的情况可以变换成正 实系数方程。) 3将特征方程的各项系数排列成劳斯列表, 表中的第一列各元全部大于零。 32 劳斯列表 第一列 33 34 35 劳斯列表的性质 1在计算劳斯列表时,某一行各元同时乘以或除以 同一个正数, 不影响稳定性的判断结果, 往往可简化后续的运算。 这种乘除 2劳斯列表第一列各元自上而下符号改变的次数等于 闭环系统特征方程中具有正实部的根的个数。 36 【例3-6】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 【解】 显然,本例满足劳斯判据的前两条, 下面计算劳斯列表 37 135 240 15 0 -60 5 自
8、上而下符号改 变2次,有2个正 实部根,系统不 稳定。 38 【例3-7】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性,并确定正实部根 的数目。 【解】该特征方程不满足劳斯判据的第二条, 所以系统不稳定。为了确定正实部根的数目, 必须列出劳斯列表: 39 1-2530 1-190 -630 -140 30 自上而下符号改 变2次,有2个正 实部根,系统不 稳定。 40 计算劳斯列表时出现的特殊情况 1劳斯列表某一行的第一个元为零, 而其他各元 不为零或不全为零。 在计算下一行时,会出现分母 为零的现象。 解决的方法之一: 令 ,构成以 为未知数的代数方程, 这个代数方程正实部根的个数与原
9、特征方程的一样。 41 【例3-8】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 【解】对原特征方程列写劳斯表: 125 120 05以下无法计算 42 令 , 对此方程列写劳斯表。 43 521 210 -12 5 2 自上而下符号改 变2次,有2个正 实部根,系统不 稳定。 44 解决的方法之二: 任意正实数 正实部根的 数目相等。 45 在上例中, 对此方程列写劳斯列表。 46 137 245 29 -55 11 5 自上而下符号改 变2次,有2个正 实部根,系统不 稳定。 47 2劳斯列表某一行所有元均为零 解决方法 用全零行的上一行系数构造一个辅助方程 并将此方程对s求导数,
10、 所得导数方程的系数取代 全零行的各元,然后继续编排劳斯列表。 48 【例3-9】控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 【解】按照D(s)=0列写劳斯列表: 11 22 00 49 用 行构造一个辅助方程 对s求导数得 继续列写劳斯列表 11 22 0040 2 50 劳斯列表的第一列各元全正,但不能说明系统稳定。 因为辅助方程 的根 是原特征方程的根, 所以系统是临界稳定的。 51 例3-10【例3-10】系统的特征方程为 求该系统正实部特征根的数目。 【解】因为特征方程各项的系数有正有负, 所以系统不稳定。 1-4-7 10 44-8 0 52 1-4-7 10 44-8 0 -5-510各元均除以5 -1-12 00辅助方程 求导得-4-2 2各元均乘以2 -14 -18 4 变号2次,说明有2个 正实部特征根。 53 辅助方程 的根为 说明特征方程还有一对纯虚根。 54 本次课内容总结 改善控制系统动态性能的方法 线性系统的稳定性 速度反馈 比例+微分控制(PD控制) 稳定的基本概念 线性定常系统稳定的充分必要条件 劳斯(Routh)稳定判据 55