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1、2 向量组的线性相关性 称为向量组 A 的一个线性组合 线性组合： 给定向量组 A： 对于任何一组实数 表达式 线性表示：给定向量组 A： 和向量 ，如果存 在一组实数 l1, l2, , ln ，使得 则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量 组A 线性表示 回 顾 向量 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = 有解 P.110 定理4.1 的结论： 由于零向量可由向量组A线性表示：0 n元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解 n元齐次线性方程组 Ax =0 只有零解 向量组的线性相关性 定义：给定向量组 A： ，如果存在不全为零的 实数 k1, k2, , kn
2、，使得 （零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的 当且仅当k1 = k2 = = kn =0 时，才有 线性无关： 向量组线性相关性的判定定理 m维向量组 A： 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, , kn ，使得 （零向量） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 矩阵A = 的秩小于向量的个数 n 即：r(A)n 向量组线性无关性的判定定理 m维向量组 A： 线性无关 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 矩阵A = 的秩等于向量的个数 n 即：r(A)=n 如果 （零向量），则必有 k1 = k2 = = kn =0 推论 已知m维向量组 A
3、： ,矩阵 (1)若向量的维数少于向量的个数，即mn，则 向量组A线性相关 (2)若向量的维数等于向量的个数，即m=n，则 n维向量组A线性相关 n维向量组A线性无关 特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关 例1、已知向量组 向量组 线性相关 例2、已知向量组 向量组 线性无关 一些特殊向量组的线性相关性 1、单个向量的向量组 (1)若 其次线性方程组 有非零解k=1 单个零向量线性相关 (2)若 其次线性方程组 仅有零解k=0 单个非零向量线性无关 2、两个向量的向量组 (1)若 线性相关，则存在不全为零的数 使得 不妨令 ，可得： 对应分量成比例的两个向量线性相关 (2)若 对应分
4、量不成比例，则齐次线性方程组 不可能有非零解，否则，假设 可得： (成比例，矛盾) 3、含有零向量的向量组 已知向量组 A: ，若向量 齐次线性方程组 有非零解 含有零向量的向量组线性相关 对应分量不成比例的两个向量线性无关 由于齐次线性方程组即 仅有零解 n维基本单位向量组线性无关 4、n维基本单位向量组 向量组线性相关性的性质 性质1、 仅有零解k1 = k2 = = kn =0 维向量组，则向量组 线性无关 低维线性无关 高维线性无关 例3： 性质2、考虑向量组 ，如果部分组 线性相关，则齐次线性方程组有非零解 因而，齐次线性方程组 也有非零解 所以向量组 也线性相关 部分相关 整体相关
5、 ， 整体无关 部分无关 例4 、 分析 ： 性质3、已知向量组 ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 的线性组合，不妨假设 则其次线性方程组 有非零解 向量组 线性相关 反之，若向量组 线性相关 ，则齐次线性方程组有非零解 即 因为 不全为零，不妨假设 ，则有 即：至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合 向量组线性相关等价于其中至少有一个向量能表示成 其余向量的线性组合 性质4、已知向量组 线性相关，且部分组 线性无关，则向量 一定能由部分组 线性表示 分析 ：向量组 线性相关 ( 不全为零） 又因为向量组 线性无关 所以： 否则向量组 线性相关 例5、已知向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关 证明 ： 齐次线性方程组 因为向量组 线性无关，所以 系数行列式 所以上述齐次线性方程组仅有零解 k1 = k2 = k3 =0 所以向量组 线性无关 练习：4.06+4.07
