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1、热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律：mT=b 表示，其中b=2.897810-3mK。求人体热辐射的峰值波长（设体温为37C）。解：T=273+37K=310K，由题意，人体辐射峰值波长为：m=bT=9.3510-6m。宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T=2.726K黑体辐射。此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？ 解：T=2.726K，由维恩位移定律m=bT=2.897810-32.726m=1.06mm，属于毫米波。波长为=0.01nm的X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少
2、eV？ 解：设碰撞后，光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为,，由能量守恒，hc0=hc1+mec211-2-1，动量守恒:h0=h1cos+mev1-2cos;0=hc1sin-mev1-2sin；整理得:h202+h212-2h201cos=m02v2c2c2-v2;联立第一式： ;则X射线的波长为：；电子能量：在一束电子束中，单电子的动能为E=20eV，求此电子的德布罗意波长。 解：电子速度远小于光速，故：E=p22m;则：=hp=h2mE=2.7610-10m。5.设归一化函数： （x）=Aexp(-2x2)(-)a为常数，求归一化常数A。解：由归一化条件 |2dx=1 得 A2= A
3、=6.设归一化波函数=A(0n为整数，a为常数，求归一化常数A解：由归一化条件 |2dx得A2=1 解得A=7.自由粒子的波函数为 =Aexp()其中和是粒子的动量和能量，和t是空间与时间变量，是普朗克常数，A是归一化常数，试建立自由粒子波函数所满足的方程。解：由=Aexp()，将其对时间求偏微商，得到=-E,然后对其空间求偏微商，得到：=-利用自由粒子的能量和动能的关系式：E=就可以得到：i=-自由粒子波函数所满足的方程8设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为=该粒子的初始波函数为=+设和是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度.解：由=exp() =dx= = = exp()+ exp(
4、)粒子的几率密度= = exp()+ exp() exp()+ exp()因为和是实数，利用欧拉公式：原式= 9.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为 =求证本征函数的正交性： dx=0(m)证： = =0()10原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的，按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）跃迁到基态（n=1）时，释放的能量是多少MeV?核的线度按a=1.0m计算。解：由能量 n=1,2,3.3J=6.2MeV11.理想金属细杆中的电子可以当成处于一维无限深势阱中而不能逸出，它们在细杆中可以文本库是自由的，设细杆的长度为a，电子
5、的初始波函数为 =f(x)=Ax(0xa,A为归一化常数)试求任意t时刻电子的波函数解：因为A是归一化常数，由 由波函数=exp()其中 =dx=dx =exp()12.设一个微观粒子的哈密顿不含时间，其本征方程为，如果粒子的初态为,求粒子在任意时刻的波函数及几率密度。解：由波函数=exp()=dx=dx=exp()= exp()粒子的几率密度= = =13设谐振子处于基态（n=0）； 1.写出其波函数的表示式 2.由哈密顿符的本征方程及基态波函数计算基态能量解：1.= ()2.将1式代入 得： + 得=14. 设想一个质量为m =1的小珠子悬挂在一个小弹簧下面做振幅为 =1的简谐振动。已知弹
6、簧的劲度系数为=.1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？与它现有的振动能量对应的量子数n是多少？由此可以看出宏观谐振子与量子谐振子的关系是什么？解：由 得： =6.6E=k=J= 4.5所以当n很大的时候，宏观谐振子与量子谐振子才越来越接近。15.试证谐振子处于第一激发态（n=1）时的波函数为：并求处在这个态时谐振子的最可几位置。解： 当n=1时，代入式中得：当,当振子几率最小，当时，振子几率最大，也就是振子的最可几位置。16.分子中原子的振动相当于一个谐振子，其等效劲度系数为 =1.13N/m，质量为m =1.67kg。求此分子的能量本征值（以eV为单位）。当此谐振子由某一激发
7、态跃迁到相邻下一个激发态时，所发射的光子的能量和波长各是多少？解：= = =0.56eV 由E= 得：=2.2217.证明：坐标与动量算符构成的算符不是尼密算符，已知证：= = 坐标与动量算符构成的算符不是尼密算符18.求解角动量z分量=的本征方程： 给出本征函数与本征值。提示：利用周期性边界条件：解：由本征方程得：由得c= 得 (m=0) (m=0)可以进一步求得c=所以本征函数是 本征值(m=0)19. 氢原子处于基态（n = 1，l = 0, m = 0）：(1)写出其本征函数；(2)写出电子的径向几率密度；(3)求电子的最可几半径；(4)说明量子理论与玻尔理论的区别。解：（1）= (2
8、)d=4d = () (3)=2-2=0 此时r=,此时有最可几半径 （4）玻尔理论：电子处于r=a的轨道 量子理论：电子在整个空间（0ra）的几率都不为0，但在玻尔半径r=a时的几率最大。20. 设氢原子的初始波函数为：求任意时刻的波函数。解：由=exp() =dx=exp() ) 21.设厄密算符F有正交完备集，相应的本征方,则任一态矢量可以按。（1）称为什么？表示什么？（2）证明=（3）证明算符F在态中的期待值为：解：(1) （2）证：= 即 (3) 证：Fdx =dx = =22. 设一个质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱表示为：V(x)=(1) 计算坐标算符的期待值(2) 计算动量算符的期待值(3) 设阱内粒子的状态为,求归一化常数A解：=由归一化条件：得到：归一化常数为：归一化波函数为：将23.、设谐振子的初态为基态和第一激发态的叠加态：(1) 求出归一化常数A；(2) 求出谐振子任意时刻的状态(3) 计算在态中能量的期待值解：23. 设谐振子的初态为基态和第一激发态的叠加态：(4) 求出归一化常数A；(5) 求出谐振子任意时刻的状态(6) 计算在态中能量的期待值解：归一化条件：所以能量的期待值
