中文自控课件3解读

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1、第3章 控制系统的时域分析法 3-1 典型的输入信号 3-2 控制系统的时域性能指标 3-3 一阶系统响应 3-4 二阶系统响应 3-5 线性定常系统的稳定性和劳斯判据 3-6 控制系统的稳态误差 对于线性系统，常用的分析方法有三种： 时域分析方法； 根轨迹法； 频率特性法。 引言 时域分析方法，是一种直接分析方 法，具有直观准确的优点，尤其适用于 低阶系统。 时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直 接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来 分析系统的性能。 Input (Typical) Control System (Differential Equation) Laplace Tran

2、sform Output Response StabilityTheorem AccuracyEss Transient Response Specification 3-1 典型的输入信号 系统的数学模型由本身的结构和参数决定； 系统的输出由系统的数学模型、系统的初始 状态和系统的输入信号形式决定； 典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号； 等加速度信号；脉冲信号；正弦信号； 典型输入信号的特点：数学表达简单，便于 分析和处理，易于实验室获得。 一、阶跃信号 A为常量，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。 表达式： 拉氏变换： 二、斜坡函数 拉氏变换： A为常量，A=1的阶跃函数称为单位斜坡函数

3、。 表达式： A为常量，A=1的阶跃函数称为单位等加速 度函数。 三、等加速度信号 表达式： 拉氏变换： 为常量， =0的阶跃函 数称为单位脉冲函数，记为 。 四、脉冲信号 表达式： 理想脉冲： 拉氏变换： 五、正弦信号 表达式： 分析一个实际系统时采用哪种信号 ，要根据系统的实际输入信号而定。 正弦信号主要用来求取频率响应。 3-2 控制系统的时域性能指标 对于线性定常系统，输入为： 输出为： 用微分方程描述如下： 为 的极点。 为 的极点。 系统的输出： 时间响应： 动态过程从初始态到接近稳态的响应。 稳态过程t趋于无穷大时的输出状态。 由微分方程可以得到传递函数 如果 和 是互异的， 那

4、么系统的零 状态响应为： 其中第一项为系统零状态响应的暂态分 量，第二项为系统零状态响应的稳态分 量。系统的时域性能指标可以从零状态 响应中求取。 超调 误差带 稳态误差Ess T Tr Tp Ts 0 t H(t) 1 0.9 0.5 0.1 上升时间 峰值时间 调整时间 阶跃响应输出 单位阶跃响应性能指标： 1 延迟时间T：指h(t)上升到稳态的50%所 需的时间。 2 上升时间Tr：指h(t)第一次上升到稳态值 的所需的时间。 3 峰值时间Tp：h(t)第一次达到峰值所需的 时间。 上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。 4 超调量：h(t)的最大值与稳态值之差与 稳态值之比： 5 调节时

5、间Ts：指h(t)和h()之间的偏差 达到允许范围（2%-5%）时的暂态过程时 间。它反映了系统的快速性。 6 振荡次数N： 调节时间内，输出偏离稳态 的次数。 7 稳态误差ess： 单位反馈时，实际值（稳 态）与期望值（1（t）之差。它反映 系统的精度。 3.3 一阶系统的时域响应 一阶系统传递函数： 典型系统： 电炉、液位 - r(t) c(t) 一阶系统框图： 一、单位阶跃响应： 在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量 随时间变化曲线为一条指数曲线。 响应曲线具有非振荡特征： t=T, y(t)=0.632; t=2T, y(t)=0.865; t=3T, y(t)=0.95; t=4T,

6、y(t)=0.982; 一阶系统的单位阶跃响应如果以初 始速度等速上升至稳态值1所需的时间应 恰好为T。 一阶系统的阶跃响应没有超调量，故 其时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长 短反映了系统过程的快慢。 由以上可知： t=3T （对5%的误差） t=4T （对2%的误差） 因此，T越小，系统过渡时间就越短。 二、一阶系统的单位斜坡响应 稳态误差 输出响应 稳态误差趋于T，T越小，动态性能越 快，稳态误差越小，但不能消除。 初始速度： 单位斜坡响应 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是 一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间 上迟后时间常数T的斜坡函数。 该曲线的特点是：在t=0处曲线的斜率等 于

7、零； 稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上 存在偏差T。 三、一阶系统的单位脉冲响应 输入： 输出： 由上面分析可知，一阶系统仅有一个 特征参量T时间常数，调整时间为 （3-4T） 当t=0时单位阶跃响应的变化率和单位 脉冲响应的初始值均为1/T，单位斜坡 响应的稳态误差为T。 T越小，系统的动、静态性能越好。 一个输入信号导数的时域响应等于该信 号时域响应的导数； 一个输入信号积分的时域响应等于该信 号时域响应的积分； 线性定常系统 3.4 二阶系统的时域响应 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系 统； 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且 许多高阶系统也可以转化为二阶系统来 研究，因此研究二阶系

8、统具有很重要的 意义； 典型二阶系统的结构图 二阶系统的传递函数： 特征方程： 系统框图： 二阶系统的特征根： 当 时 系统的极点为 ： 系统的闭环传函为 ： 时域响应： 单位阶跃响应（1） 临界阻尼：=1 单位阶跃响应 闭环系统的极点为 闭环传递函数为 临界阻尼时的单位阶跃响应为 当 时，输出响应拉氏变换： 时域响应： 单位阶跃响应（ 01 ） y(t) 系统响应的暂态分量为振幅随时间按 指数函数规律衰减的周期函数，其振 荡频率（也称为阻尼振荡频率）为 ： 1、二阶系统响应特点 1、 =0时，等幅振荡； 3、 =1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态； 5、-1 0时，振荡发散，系统不稳定；

9、 6、 1 时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢； 2、0 1时， 越小，振荡越严重，超调越大（最 大超调量100%），衰减越慢； 由曲线进一步知道： 1、阻尼比 越大，超调量越小，响应越平稳。 反之， 越小，超调量越大，振荡越强。 2、当取 =0.707左右时，Ts和%都相对较小， 故一般称 =0.707为最佳阻尼比。 3、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。 在一定 下欠阻尼系统比临界阻尼系统更 快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓 慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。 闭环极点坐标与阻尼比的关系 二阶系统响应特点 阻尼比与极点分布和系统性能的关系 (脉冲响应曲线变化情况) 2、二阶

10、系统响应性能指标 (1) 上升时间 Tr d n n (2) 峰值时间 Tp (3) 超调量% %的大小完全决定于， 越小， %越大。 (4) 调节时间Ts 当y=0.05(或0.02)时，对应的调整时间为Ts 由于正弦函数的存在， 和 的关系为不连 续的，为简单起见，可以近似计算如下： 由此可见： 越大， 就越小，当 为一定时，则 与 成反比，这与 的关系正好相反。 3、二阶系统的单位斜坡响应 当输入信号为单位斜坡信号时 4、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应 稳态分量： 瞬态分量： 误差响应： 对误差响应求导，并令其为0，得到误差峰值时间： 误差峰值： 稳态误差： 误差最大偏离量可以表示为： 误

11、差的调节时间误差进入稳态值5%误差带 所需时间： 5、采用比例微分控制改善二阶 系统响应特性 特征方程中，一次项系数为 引入了比例-微分控制，增大了系统的等效阻尼比， 自然振荡角频率不变，系统的超调减小。 同时增加了 一个零点 引入比例-微分控制，后系统的特征根将发生变化 例：单位负反馈系统的开环传递函数为 求（1）单位阶跃输入响应。 （2）性能指标 。 解：系统的闭环传递函数为 系统的输出为 系统的输出时域响应为 对输出响应求导，并令导数为0，得 根据峰值时间很容易得到 6、采用输出微分反馈改善二 阶系统响应特性 系统的闭环传递函数为 其等效阻尼为 系统的等效阻尼比增大，抑制了输出量的超调和

12、振荡， 改善了系统的平稳性 。 系统的误差传递函数 单位斜坡输入作用下 由终值定理 稳态误差增大，原因是？ 对于图示系统， （1）求当a=0，阻尼比、自然振荡角频率和单位斜坡输 入的稳态误差。 （2）当 时，确定系统的a和单位斜坡输入的 稳态误差。 若 若 7、比例微分控制与输出微 分反馈的比较 1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同； 2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不 同； 4、对动态响应的影响不同。 （1）增加阻尼的来源 比例微分的阻尼来自误差信号的速度； 输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度； 因此对于给定的开环增益和指令速度

13、，输出 微分的稳态误差更大； （2）对于噪声和元件的敏感程度 比例微分控制对于噪声具有明显的放大 作用，输入噪声大，不宜使用； 输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作 用第5章，对噪声不敏感； 比例微分控制加在误差后，能量一般较 小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声 能力强； 输出微分反馈输入能量一般很高，对元 件没有特殊要求，适用范围更广； （3）开环增益和自然振荡角频率的影响 比例微分控制对于开环增益和自然振荡 角频率都没有影响； 输出微分反馈影响自然振荡角频率，但 开环增益会明显减小本章最后一节 ； 使用输出微分反馈要求开环增益较大， 导致自然振荡角频率随之增大，容易和 高频噪声产生共振； （

14、4）对动态性能的影响 比例微分控制在闭环系统中引入了零点， 加快了系统的响应速度第4章； 相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起 的超调大于输出微分反馈系统的超调。 3-5 高阶系统的响应 前面研究了两种低阶系统； 用高阶微分方程描述的系统为高阶系统 ； 工程实际中的系统决大多数为高阶系统 ； 高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶 系统可以用低阶系统的响应来近似 主导极点第4章。 1、高阶系统的一般形式 闭环传函 2、高阶系统的单位阶跃响应 为实数极点的个数， 为共轭复数极点的个 数， 。设上述极点互异并都位于平面的左 半平面，则经过整理后 经拉氏反变换 这表明：高阶系统的时间响应是由若干一阶 系

15、统和二阶系统的时间响应函数项组成的。 3、高阶系统举例 例：设三阶系统的闭环传递函数为 试确定其单位阶跃响应。 解：输出信号的拉氏变换 经拉氏反变换 4、高阶系统的近似分析 高阶系统可以近似成低阶系统来分析； 学习了系统的根轨迹后将详细说明为什 么高阶系统可以近似来分析。 3-6 稳定性和劳斯判据 稳定性的基本概念 劳斯判据 两种特殊情况 稳定裕度的检验 参数对系统稳定性的影响 一、稳定性的基本概念 (a) (b) A BA 图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A ，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去 除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位 置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)就是不稳定的。 稳定性的定义 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状 态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除 后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统 可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不 稳定的。 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说 ，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件 及外作用无关。 稳定性分析有以下几种方法： 特征方程法 特征值判据法 代数判据法 根轨迹法 频率稳定判据法 稳定性的数学描述 设线性定常系统微分方程为： 稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与 系统的输入信号无关，因而可以用