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1、第四章 微分方程4.1方程的分类与解法及结构定理4.1.1 一阶，可分离变量方程l 一阶变量分离方程l 齐次方程令，4.1.2 一阶线性非齐次方程齐次方程通解 标准形 通解伯努利方程令得4.1.3 特殊二阶方程 降阶法l 微分方程接连积分n次，便得到微分方程的含有n个任意常数的通解。l 令 则l 令 则l 首次积分方法若则称为方程0的首次积分。这样就把原方程降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.4 二阶（高阶）线性常系数方程1线性方程解的结构理论定理1（叠加原理） 设是齐次方程的解，则它们的线性组合 也是齐次方程的解，其中是任意常数。定理2 设是非齐次方程的一个解， 是对应的齐次方
2、程的解，则也是非齐次方程的解，其中是任意常数。定理3 （二阶齐次线性微分方程通解的结构） 设和是方程（3）的两个线性无关特解，则 （是任意常数）是方程（3）的通解。对于二阶非齐次线性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 设是方程（4）的一个特解，和是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则(5)是方程（4）的通解。2齐次方程 特征方程 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程的特征方程第二步 求出特征方程的两个根。第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解特征方程的两个根微分方程
3、的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根一对单复根k重实根k重复根给出一项给出两项给出k给出k项：项给出2k项： 3非齐次方程 其通解是其中是对应齐次方程的解，是非齐次方程的解。特解 k是特征根的重复次数， 特解k是特征根的重复次数。4欧拉方程 令 或 ，则，若引入微分算子符号，则上述结果可简记为，一般地 4.2一般题（1）例题例1 求的通解,其中为大于零的常数。解:特征方程，特征根，齐次方程通解，特解形式，其中，故，代入原方程,得 通解例2 设非齐次线
4、性微兮方程有两个不同的解，C为任意常数,则该方程的通解是(A)C-， (B) +C- ，(C)C+，（D）+C+解:选(B)例3 设为二阶常系数线性齐次方程的两个特解，则由与能够成该方程的通解，其充分条件是（A） （B）（C） （D）解：由（B）可知，即，故，可知线性无关。例4 求方程的特解形式。解:,所以例5在下列微分方程中,以，为任意常数)为通解的是( )。(A) (B) （C）（D）解：选(D)例6 设二阶常系数线性微分方程的一个特解为求及其通解。解法1：由可知特征根故特征方程为，从而，将代入原方程，得，通解为解法2：将代入原方程得故 所以例7 设，其中满足，且.解：即，解得例8设对于任
5、意实数s和t，有，且，求。解:令故，代入初值，得，例9 设，其中是连续函数，求解：，又，所以例10设有方程，大于零常数,试用变换将方程化简并求解。解：代入原方程,并整理：，解锝:，再用代回即可。例11 求解微分方程组。（工科微积分不用做，工科数学分析做）解：特征方程：，令，从而，从而通解为(二)练习l设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，为任意常数,则该方程通解是（A）（B）（C）（D） （D）2 . 已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。 （）3.求满足的可微函数 （）4 .设函数在上可导，且满足等式,(1)求； (2)证明时,成立不等式:。（）4.3、微分方程的应用
6、(一)例题例1 曲线过点(1,1)其且上任一点处的切线在轴上的截距等于同一点处法线在轴上截距,求曲线方程。解: 设曲线方程，为曲线上任一点, 切线方程:，切线在y轴上截距为，法线方程:，法线在x 轴上截距为，故方程为：，即解得,通解为，特解例2 设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且L经过点。（1）试求曲线L的方程；（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线于L以及两坐标轴所围图形的面积最小。解 （1） 依题意，设曲线L过点的切线方程为令X=0，则得该切线在轴上的截距为由题设知，令，则方程化简为，解得。由L经过点，得，于是L的方程为即（2）设第一
7、象限内曲线在点处的切线方程为即，它与轴及轴的交点分别为与，故所求面积为对求导，得令，解得当时，；时，因而是在内的惟一极小值点，即最小值点，于是所求切线为即例3 一质量为的物体,由静止开始下落,已知空气阻力与下落速度成正比,比例系数为，（1）求速度函数与路程函数:(2)求极限速度;(3)求路程与速度之间的函数关系。解:(1)由牛顿第二定律,得即，即解得：，；（2）极限速度；（3）由 得解得 例4 容器内有100L的盐水，含10kg的盐，现以3L/min的均匀速率，往容器内注入净水（假设净水与盐立即调和），又以2L/min的均匀速率从容器抽出盐水，问60分钟后容器内盐水中含盐是多少？解 设时刻盐水
8、中盐的含量为，依题意，在时段内含盐量的改变量为，于是得分离变量得 两端积分得，代入得故当他60时， (二)练习1. 某湖泊的水量为v,每年排入湖泊内含污染物A的污水量，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为。已知1999底年湖中A的含量为5,超过国家规定指标。为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过，问至少需经过多少年,湖泊中污染物A的含量降至以内? (61n3年)。2.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下。现在一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km / h，经测试，减速伞打开
9、后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为)，问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (1.05km)第六章 多元函数微分学6.1 多元函数概念6.1.1二元函数的极限定义 f (P)= f (x，y)的定义域为D, 是D的聚点. 对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)D，即时，都有|f (P)A|=|f (x，y)A|成立，那么就称常数A为函数f (x，y)当(x，y)时的极限，记作或f (x，y)A(x，y),也记作或 f (P) A (P)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.6.1.2 二元函数的连续性f ,如果函数f (x ,
10、 y)在D的每一点都连续，那么就称函数f (x , y)在D上连续，或者称f (x , y)是D上的连续函数.如果函数f (x , y)在点不连续，则称为函数f (x , y)的间断点. 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即.有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。6.1.3 偏导数与高阶导数概念 ，
11、说明 1 对求导视为常数，几何意义也说明了这个问题二元函数z=f (x , y)在点(,)的偏导数有下述几何意义.偏导数，就是曲面与平面的交线在点处的切线对x轴的斜率.同样，偏导数的几何意义是曲面与平面x=的交线在点处的切线对y轴的斜率.2 基于如上理由，求时，可先代入，（因此可能简化函数）再对求导可微，偏导数存在，连续的关系可微，偏导数连续可微， 和都连续，则=;6.1.4 高阶偏导数设函数z=f (x , y)在区域D内具有偏导数，则这两个函数的偏导数称为函数z=f (x , y)的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：6.1.5 偏导数，微分运算公式1，2 3 确定，
12、；6.1.6 偏导数应用偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。1 空间曲线切线与法平面1）切向量切线方程：法平面方程：2）类似的切线方程：法平面方程：3）2 空间曲面切平面与法线1）切平面：法线：2）类似地切平面：法线：3）*（参数方程形式）切线 3 方向导数（梯度在方向投影）4 梯度、散度、旋度6.1.7 多元函数的极值一、 无条件极值 限于二元函数1 求驻点驻点2 于驻点P处计算，。是极值点，可取得极小值，可取极大值。3 条件极值：，令求无条件极值。6.2 习题 6.2.1 多元函数、极限、连续、偏导数及全微分（一） 例
13、题例1函数满足，下列结论“在连续；在处连续；在连续”中正确的是( ) (A) (B) (C) (D)解:选(D)例2 二元函数在点处可微的一个充分条仵是(A)（B），且（C），且（D）解:选(D)例3 证明极限不存在。证 当沿三次抛物线趋于时，有其值随k去不同值而取不同值。故极限不存在。例4 （1）讨论的连续性（2）求（3）讨论的连续性（4）求解:(1)当时，显然连续,又所以在也连续。 ( 2 ) 当时，,而同理， (3)当时，和显然连续，当时，因为不存在，故在不连续，同理，在也不连续。(4)当时，=当时，由于所以(二)练习1.设函数在点处的偏导数，则( A ) (B)函数在点的某邻域内必有定义（C）曲线在点处切线的方向向量为 (D)必存在 (选(C)2.考虑二元函数的下面4个性质:在连续在两个偏导数连续;在可微在两个偏导数存在。若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q,则有(A) (B) (C)(D)(选(D)3.设，其中在点的邻域内连续，问(1) 在什么条件下，存在？()(2) 在什么条件下，在可微? ()6.2.2 多元复合函数求偏导数(一)例题例1，
