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1、非线性系统控制理论第四章 反馈线性化原理的应用 在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。4.1零动态 在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念“零动态”。在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。即若任何一个线性系统其相对阶r严格小于其维数n，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n，则传递函数中就没有零点。所以前节中精确线性化所讨论的系统，
2、在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。在这一节中这种类比将进一步推广。 考虑一个相对阶严格小于的非线性系统 则可通过坐标变换，变成正则形：， ， 其中，若能使, 则可将系统变成下列形式： 或写成： 若是使的点，则在一定有，虽然此时可以任意选择，但是不失一般性，可以选，如果是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。因而有： 当时 当时 这也就是说，在，系统处于平衡状态下，若此时及以后又没有输入作用（即），则该系统就一直处于平衡状态。1.输出零化问题和零动态现在提出一个这样的问题： 能否找到这样成对的关系：即某个初始状态，及对应的，定义在的一个邻域上，使得系统在的邻域上输出恒等于0。这
3、个问题被叫作输出零化问题。当然我们感兴趣的是所有这样的对子，而不是前面提到过的简单的平凡对。 对于正则形有： 由于限制在所有t时刻，这就必须有：也就是说在所有时刻。所以，我们可知当系统的输出恒等于零时，其状态也以这样一种方式受到限制，这时也恒等于零。并且必须是下列方程的唯一解。 其中，当趋近于零时； 应服从下列微分方程，因为到目前为止，我们只知道。 （3.1） 由于与输出不直接有关，所以要使保持为零，只要可以任意来选择，但是对于不同的，要解得，再取才能使保持为零。 当初始条件选择为，及时，上述的解是唯一的。方程（3.1）描写了系统内部的这样一种动态特性，即在限制输出恒为零的条件下，对于所选择的
4、初始条件，并由此而解出的控制作用下，系统内部的动态特性。这个动态在我们今后的讨论中颇为重要，被叫作系统的零动态。2.关于零动态的几个评注：（1）对于线性系统而言，零动态是这样一个特殊的线性系统的动态：这个系统的极点或特征值是原系统的零点；即以原系统传递函数的分子多项式为其特征多项式的线性系统的动态。 现在我们来说明这一点，假定线性系统的传递函数为： 可知其相对阶为r，若该系统传递函数的分子与分母是互质的，则容易得出其一种最小实现为： 其中： 化为正则形后 再取： 它使，且是非奇异的。 因为 容易验证它是非奇异的。因而用该坐标变换可以化成正则形，其形式为： 根据零动态的意义，所以有 此时应取 因
5、： 由于 故： 由此零动态的特征多项式为： 此即为原系统传递函数的分子，因而零动态的极点就是原系统的零点。( 2 ) 非线性系统的零动态在=0处的线性近似与整个非线性系统在x=0处的线性近似系统的零动态是一致的。也就是说取零动态与取线性近似的操作运算本质上是可以交换的。 为了校验这一点，我们必须做的仅仅是要说明正则非线性方程的线性近似与原系统线性近似的正则形是一致的。并且非线性系统的相对阶与其线性近似系统的相对阶也是一致的。 前面业已介绍 同理 由递推关系，容易计算 其中函数使得 由此可以推出 对所有kr-1 也就是说原系统在 x=0 处的线性近似系统，它的相对阶就等于r。则非线性系统的正则形
6、的相应项可以写成下列展开式： 则其零动态的线性近似式为 所有 描写了当0 时，原系统在=0 处的零动态的线性近似，它与整个系统在 x=0 处的线性近似的零动态是一致的。例3.2 我们来分析下列系统的零动态 则有： 因此其相对阶 r=2，为了化为正则形，取 于是在新坐标下系统的方程为 从零动态的意义可知，y(t)=0 意味着，所以系统的零动态为：(3)非正则形时的零动态： 虽然上述零动态的分析是在正则形的条件下进行的，但是由于坐标变换中的状态变量要满足 常常有难处。于是得到的是非正则形，系统的描述成为： 我们可以看出方程的前面几个变量与正则形是相同，所以从零动态的概念出发，应有y(t)0，所以：
7、。 由此可得， 所以 ， 则零动态为：。(4)几何观点： 若系统在某点处的相对阶为r，则有 0 k r-1Page: 62 对于输出零化问题，则有，0 k r-1。故系统一定在下面的子集上运动( 局部地围绕)。 也就是说在新坐标下，恰恰正是均为零的点集上运动，且附加的限制条件： 图4.6表示了在新坐标下零动态的几何表示 图 4.6 因为微分 ，0 i r-1，在 处是线性无关的。所以 处在 附近的一个 n-r 维的光滑流形，其状态反馈为 因为 所以向量场 是与 子集相切的。也就可以由此推得闭环系统 的任何运动轨迹从上的某点开始一直在中运动(对于小的时间t 内)。约束条件是的一个确定的向量场。它
8、精确的描写了系统的零动态,而与所取的坐标无关。(5) 零动态在精确线性化下的不变性 若系统的相对阶为 r, 又 rn。则可以通过状态反馈构成闭环并使之局部精确线性化。如前所述取 。于是系统成为 ,其中, , 当线性子系统初始时是静止的, 即 y(0)=0, 而且在此后又没有输入作用（指V=0）, 因而可保持 y(t)=0。也就是说 。这时整个系统即闭环系统的内部动态就是,也即是开环系统( 原系统 )的零动态。( 6 )参考输出的再产生问题。输出零化问题实质上是强迫输出去精确的跟踪零。我们很容易推广到这样的情况,即是否可强迫输出去跟踪一个任意的函数。这一个问题被称为参考输出的再产生问题。说得具体
9、一点就是若有可能, 寻找成对的是初始状态。是定义在t=0的邻域上的输出函数, 使系统的输出 y(t)在 t=0的所有邻域 t上与给的精确地相一致。则与前面的分析相类似, 因为要求, 这就意味着: ,对所有的 t和所有的 i。因而至少,对所有的 t和 。 令 ,因而输入 u(t)必须满足, 其中是下列微分方程的解 (3.3) 为使 , 首先应保证在初始时刻,而 是可以任选的 。于是按照所选的 ,则 (3.4) 所以为了使系统的输出能精确地跟踪给定的 ,首先在初始时刻, 必须“对准”,即 ,然后由给定的 和 ,解方程(3.3)得出 ,再由(3.4)式解出 u(t) 。这个输入 u(t)是能保持 的
10、唯一解。从上述过程可以看出,(3.3)和(3.4)式好像构造了一个以 为输入, 为状态, u(t)为输出的“系统”,它被解释为原系统的“逆实现” 。4.2 局部渐近稳定化(镇定)1.问题的提出: 考虑系统 , 平衡点 ,不失一般性可取 (移动坐标原点) 。能否找到一个控制 (状态反馈),使系统 在处是渐近稳定的,称为局部渐近稳定问题。 后面的讨论将说明零动态的概念对处理这个问题是很有用的。2. 线性系统能否稳定化的回顾:对于一个线性系统, 通过合适的分解总可以分解成能控和不能控两个子系统。对于能控的子系统总可以通过状态反馈, 使其特征值处在复平面上任意给定的位置,对于不能控的子系统则状态反馈就
11、不能使特其特征值配置在任意位置。 所以一个线性系统能稳定化的充要条件是: 当不能控子系统的特征值均在复平面的左半平面,则整个系统是能稳的。否则系统是不能稳的。3.命题4.1：假若非线性系统的一阶线性近似系统是渐近能稳的，则原非线性系统也是渐近能稳的，反之亦然。因为非线性系统 ,其中 。 若取 u=Fx, 则。 所以当线性近似系统是能稳的，则（ABF）的特征值均具有负实部。而在邻域上，后两项是 x的2阶小量。此时该非线性闭环系统在 处也是局部渐近稳定的。反之若线性近似系统是不能稳的，则不管 取什么规律，其线性近似系统是总有右半平面的特征值，因而原非线性系统也是不可稳的。 由一阶线性近似系统的渐近
12、稳定来判别原非线性系统是否渐近稳定，称为“一阶线性近似稳定性判别原则”，它早由李亚普诺夫和庞加莱所证明。 注意：以上命题没有说明当线性近似系统的不能控子系统中仅仅包括有虚轴上的特征值时，非线性系统是否能稳的情况，这种情况称为局部能稳的临界问题。4.命题4.2( 临界问题 )，若系统的零动态在 处是渐近稳定的，那么通过状态反馈可以使原系统在 处渐近稳定。证明：(1):若系统的相对阶为 r,则可将系统化成正则形。 其中 。(2):取 可将该子系统化成线性能控的。则只要 取得适当，总能使 表示的线性子系统的特征值处在左半复平面内，使该子系统是渐近稳定的。(3):而另一方面零动态所表示的子系统 在处是
13、渐近稳定的。因而综上所述整个系统是渐近稳定的，也即原非线性系统在处是能渐近稳定化的。又若在上述情况中取 则系统为 。由于有参考输入 v的作用，则当系统是渐近稳定的，v 又是有限的，则运动的轨迹也是有界的。5.临界问题举例： 考虑系统 ( 若)当 时其相对阶为 2。 坐标变换： 取 检查:(1)雅可比阵 其行列式 非奇异。(2) 故不满足正则形，但可进行变换。 反变换： 故 因取。 当考虑平衡点 时，即有： 原系统: 原系统中含有不能控的运动模态且其特征值,即临界状态。其零动态： 可由李亚普诺夫定理证明零动态是渐近稳定的，但是其一阶近似是临界的。这就适合于命题4.2的情况，因而系统是可以渐近稳定的,只要取4.3 渐近输出跟踪1. 何谓渐近输出跟踪: 前面业已提出欲使系统的输出能精确地复现给定的参考输出必须满足这样两个条件:(1):初始时刻要对准, 即 (2):
