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1、第二讲三角变换与解三角形1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如()，2()()等4 正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin
2、A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5 余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.6 面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.7 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：ABC.(2)ABCabcsin Asin Bsin C.(3)abcos Cccos B.1 (2013浙江)已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A. B. C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos
3、 4cos2.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选C.2 (2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B的大小为()A. B. C. D.答案A解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，由正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.3 (2013陕西)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定
4、答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得A，所以ABC为直角三角形4 (2012广东)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC等于()A4 B2 C. D.答案B解析利用正弦定理解三角形在ABC中，AC2.5 (2013安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.答案解析由已知条件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，则a，c2abcos C，又0C0.易得cos().又，所以cos0，易得cos.故coscos
5、()()cos()cossin()sin.反思归纳(1)公式应用技巧：直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；常用切化弦、异名化同名、异角化同角等(2)化简常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用角与角之间的隐含关系，如2()()，()等；注意利用“1”的恒等变形，如tan 451，sin2cos21等变式训练1(1)若0，0，cos，cos，则cos等于()A. B C. D答案C解析cos，0，sin.又cos，0，sin，coscoscoscossinsin.(2)已知sin cos ，且，则的值为_答案解析(cos sin )sin cos ，cos sin ，两边平
6、方得12sin cos ，2sin cos .，cos sin ，.题型二解三角形例2ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.审题破题(1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B的值，进而求出角B.解(1)由正弦定理，得asin Bbsin A，又asin Asin Bbcos2Aa，所以bsin2Abcos2Aa，即ba.所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，又0B0，故cos B，又0B180，所以B45.反思归纳关于解三角形问题，一般要用到三角
7、形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口变式训练2(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理得：cos B，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.(2)在ABC中，cos B，sin B .由正弦定理得：，sin A.又AC，0AACBC，CD，所以SABDSABC.又已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC建造环境标志费用较低即小李
8、的设计使建造费用较低反思归纳应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案变式训练3(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度
9、为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 04
10、0 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内典例(12分)已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，其中02.函数f(
