《（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第十六章 圆锥曲线与方程 16.2 双曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第十六章 圆锥曲线与方程 16.2 双曲线（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学(江苏省专用)16.2双曲线1.(2017江苏85分)在平面直角坐标系xOy中双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点PQ其焦点是F1F2则四边形F1PF2Q的面积是.A组自主命题江苏卷题组五年高考答案2解析本题考查双曲线的性质及应用.由-y2=1得右准线方程为x=渐近线方程为y=x|F1F2|=4不妨设P在x轴上方则PQ=24=2.2.(2013江苏35分0.885)双曲线-=1的两条渐近线的方程为.答案y=x解析-=1的两条渐近线方程为-=0化简得y=x.3.(2016江苏35分)在平面直角坐标系xOy中双曲线-=1的焦距是.答案2解析由-=1得a2=7b2=3所以c2=10
2、c=所以2c=2.4.(2015江苏125分0.406)在平面直角坐标系xOy中P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立则实数c的最大值为.答案解析双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x显然直线y=x与直线x-y+1=0平行且两直线之间的距离为=.因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点所以点P到直线y=x的距离恒大于0结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于结合已知可得c的最大值为.考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国文改编55分)若a1则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是.B组统一命题省(区、市)卷题组答案(1)
3、解析本题考查双曲线的方程和性质.由题意知e=因为a1所以e1所以10)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2则C的离心率为.答案2解析本题主要考查双曲线的方程和性质直线与圆的位置关系.由题意可知圆的圆心为(20)半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x即bxay=0且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2所以=所以=.故离心率e=2.方法总结求双曲线离心率e的常见方法有两种.一是直接法:e=二是间接法:即由条件得到关于a、c的等式再化成关于e的方程求解.3.(2017课标全国理改编55分)已知双曲线C:-=1(a0b0)的一条渐近线方程为y=x且与椭圆+=1有公共焦点则
4、C的方程为.答案-=1解析本题考查求解双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为-=k(k0)即-=1双曲线与椭圆+=1有公共焦点4k+5k=12-3解得k=1故双曲线C的方程为-=1.一题多解椭圆+=1的焦点为(30)双曲线与椭圆+=1有公共焦点a2+b2=(3)2=9双曲线的一条渐近线为y=x=联立可解得a2=4b2=5.双曲线C的方程为-=1.4.(2017天津文改编55分)已知双曲线-=1(a0b0)的右焦点为F点A在双曲线的渐近线上OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)则双曲线的方程为.答案x2-=1解析本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程.不妨设点A在第一象限由题意
5、可知c=2点A的坐标为(1)所以=又c2=a2+b2所以a2=1b2=3故所求双曲线的方程为x2-=1.方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程根据题意构造关于ab的方程组从而求得ab写出双曲线的方程(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系式结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.5.(2017天津理改编55分)已知双曲线-=1(a0b0)的左焦点为F离心率为.若经过F和P(04)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线则双曲线的方程为.答案-=1解析本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程.由离心率为可知a=bc=a所以F(-a0)由题意可知kPF=1所以a
6、=4解得a=2所以双曲线的方程为-=1.方法总结求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程根据题意构造关于参数ab的方程组从而解方程组求出参数a和b的值(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系式结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.6.(2015北京105分)已知双曲线-y2=1(a0)的一条渐近线为x+y=0则a=.答案解析由双曲线-y2=1(a0)知其渐近线方程为y=x又因为a0所以=解得a=.7.(2015天津改编65分)已知双曲线-=1(a0b0)的一条渐近线过点(2)且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上则双曲线的方程为.答案-=1解析因为点(2)在
7、渐近线y=x上所以=又因为抛物线的准线为x=-所以c=故a2+b2=7解得a=2b=.故双曲线的方程为-=1.评析本题考查了双曲线和抛物线的方程和性质.考查了用待定系数法求方程问题属中档题.8.(2014天津改编55分)已知双曲线-=1(a0b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10双曲线的一个焦点在直线l上则双曲线的方程为.答案-=1解析由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2得25=a2+4a2则a2=5b2=20从而双曲线方程为-=1.9.(2014福建1913分)已知双曲线E:-=1(a0b0)的两条渐近线分别为l1:y=2xl2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如图O
8、为坐标原点动直线l分别交直线l1l2于AB两点(AB分别在第一、四象限)且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E若存在求出双曲线E的方程若不存在说明理由.解析(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2xy=-2x所以=2所以=2故c=a从而双曲线E的离心率e=.(2)解法一:由(1)知双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时若直线l与双曲线E有且只有一个公共点则|OC|=a|AB|=4a又因为OAB的面积为8所以|OC|AB|=8因此a4a=8解得a=2此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E则E的方程只能为-=1.以下证明:当直
9、线l不与x轴垂直时双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m依题意得k2或k0)的右顶点为A以A为圆心b为半径作圆A圆A与双曲线C的一条渐近线交于MN两点.若MAN=60则C的离心率为.答案解析本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M、N在渐近线y=x上如图AMN为等边三角形且|AM|=b则A点到渐近线y=x的距离为b又将y=x变形为一般形式为bx-ay=0则A(a0)到渐近线bx-ay=0的距离d=所以=b即=所以双曲线离心率e=.4.(2017山东理145分)在平面直角坐标系xOy中双曲线-=1(a0b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于AB两点.若|A
10、F|+|BF|=4|OF|则该双曲线的渐近线方程为.答案y=x解析本题考查双曲线、抛物线的基础知识考查运算求解能力和方程的思想方法.设A(x1y1)B(x2y2).因为4|OF|=|AF|+|BF|所以4=y1+y2+即y1+y2=p.由消去x得a2y2-2pb2y+a2b2=0所以y1+y2=.由可得=故双曲线的渐近线方程为y=x.思路分析由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的方程消去x得关于y的一元二次方程由根与系数的关系得y1+y2.从而得的值近而得渐近线方程.解题关键求渐近线方程的关键是求的值利用题中条件建立等量关系是突破口
11、注意到|AF|、|BF|为焦半径因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点因此应联立它们的方程求解.这样利用y1+y2这个整体来建立等量关系便可求解.5.(2015课标改编55分0.801)已知M(x0y0)是双曲线C:-y2=1上的一点F1F2是C的两个焦点.若0)则A(-a0)B(a0)不妨设点M在第一象限内则易得M(2aa)又M点在双曲线E上于是-=1解得b2=a2e=.7.(2016课标全国理改编115分)已知F1F2是双曲线E:-=1的左右焦点点M在E上MF1与x轴垂直sinMF2F1=则E的离心率为.答案解析解法一:由MF1x轴可得M|MF1|=.由sinMF2F1=可得co
12、sMF2F1=又tanMF2F1=b2=acc2=a2+b2b2=c2-a2c2-a2-ac=0e2-e-1=0e=.解法二:由MF1x轴得M|MF1|=由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+又sinMF2F1=a2=b2a=be=.解题思路解法一是利用三角函数的知识求出tanMF2F1得到关于abc的一个等式解法二是先由双曲线的定义得出|MF2|再由sinMF2F1=得到关于ab的一个等式最后求出e.8.(2014课标改编45分0.472)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点则点F到C的一条渐近线的距离为.答案解析由题意知双曲线的标准方程为-=1其中a2=3
13、mb2=3故c=不妨设F为双曲线的右焦点故F(0).其中一条渐近线的方程为y=x即x-y=0由点到直线的距离公式可得d=.评析本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力.9.(2016天津改编45分)已知双曲线-=1(a0b0)的焦距为2且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直则双曲线的方程为.答案-y2=1解析由题意可得解得a=2b=1所以双曲线的方程为-y2=1.易错警示易将双曲线标准方程中abc之间的关系与椭圆标准方程中abc之间的关系混淆这是失分的主要原因.评析本题主要考查双曲线的几何性质双曲线标准方程的求法考查学生对基础知识
14、和基本技能的应用能力考查方程思想方法的应用.10.(2016天津理改编65分)已知双曲线-=1(b0)以原点为圆心双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于ABCD四点四边形ABCD的面积为2b则双曲线的方程为.答案-=1解析不妨设A(x0y0)在第一象限由题意得由得=所以=由可得b2=12.所以双曲线的方程为-=1.评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质考查了运算求解能力和方程的思想方法.11.(2015重庆改编105分)设双曲线-=1(a0b0)的右焦点为F右顶点为A过F作AF的垂线与双曲线交于BC两点过BC分别作ACAB的垂线两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+则该双曲
15、线的渐近线斜率的取值范围是.答案(-10)(01)解析由题意知F(c0)A(a0)不妨令B点在第一象限则BCkAB=CDABkCD=直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性知点D在x轴上得xD=+c点D到直线BC的距离为c-xD0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点OAB.若OAB的垂心为C2的焦点则C1的离心率为.答案解析设点A在点B左侧抛物线C2的焦点为F则F.联立得和分别解得AB.F为OAB的垂心AFOBkAFkOB=-1即=-14b2=5a24(c2-a2)=5a2=e=.评析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及计算能力.13.(2016山东145分)已知双曲
16、线E:-=1(a0b0).矩形ABCD的四个顶点在E上ABCD的中点为E的两个焦点且2|AB|=3|BC|则E的离心率是.答案2解析由已知得|AB|=|CD|=|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|所以=6c2b2=3ac=3e2(e2-1)=3e2e2-3e-2=0解得e=2或e=-(舍去).评析本题考查了双曲线的基本性质利用2|AB|=3|BC|建立关于离心率e的方程是求解关键.14.(2016浙江理改编75分)已知椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合e1e2分别为C1C2的离心率则e1e2与1的大小关系为.答案e1e21解析在椭圆中a1=mc1=e1=.在双曲线中a2=nc2=e2=.因为c1=c2所以n2=m2-2.从而=令t=m2-1则t0=1即e1e21.思路分析根据椭圆C1与
