（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数 3.2 三角函数的图象和性质

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1、数学(江苏省专用) 3.2 三角函数的图象和性质 1.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 . A组 自主命题江苏卷题组 五年高考 答案 7 解析 解法一:在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图).由 图象可知,共有7个交点. 解法二:由sin 2x=cos x cos x=0或sin x= ,因为x0,3,所以x= , , , , , , ,故两 函数图象的交点个数是7. 2.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1

2、)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab, 所以- cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0. 于是tan x=- . 又x0,所以x= . (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos . 因为x0,所以x+ , 从而-1cos . 于是,当x+ = ,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 . 考

3、点一 三角函数的图象及其变换 1.(2017课标全国理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 . 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度, 得到曲线C2; 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度, 得到曲线C2; 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得 到曲线C2; 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度, 得到曲线C2. B组 统一命题省(区、市)卷题组 答案 解析

4、 本题考查三角函数的诱导公式及图象变换. 首先利用诱导公式化异名为同名. y=sin =cos =cos =cos , 由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变; 由y=cos 2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移 个单位 长度,故填. 方法总结 (1)三角函数图象变换: 伸缩变换:将y=sin x图象上的各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得到y=sin 的 图象;将y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asin x的图象. 平移变换:函数图象的平移变换遵

5、循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x的 变化量. (2)解决三角函数图象变换题时,若两函数异名,则通常利用公式sin x=cos 和cos x= sin 将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程. 2.(2016课标全国改编,6,5分)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应 的函数为 . 答案 y=2sin 解析 该函数的周期为,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin 2 + =2sin . 易错警示 三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x- ,而不是将2x变 为2x- . 评析 本题主要考查三角函数图

6、象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x. 3.(2016四川改编,4,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点 向 平移 个单位长度. 答案 左; 解析 根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动 个单位 长度可得y=sin 的图象. 评析 本题考查三角函数图象的平移变换. 4.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有 的点向 平移 个单位长度. 答案 右; 解析 将y=sin 2x的图象向右平行移动 个单位长度得到y=sin =sin 的图象. 解后反思 将y

7、=sin 化为y=sin 是解题的关键. 5.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的 图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min= ,则= . 答案 解析 g(x)=sin2(x-)=sin(2x-2). |f(x)|1,|g(x)|1, |f(x1)-g(x2)|2, 当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2. 不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k

8、1+ (k1Z),x2=k2+ +(k2Z), |x1-x2| = . , |x1-x2| -. 又|x1-x2|min= , -= ,即= . 评析 本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生能 准确地画图并理解题意.属中等难度题. 6.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函 数在区间 上单调递增. 答案 (kZ) 评析 本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质,难度不大. 解析 函数y=3sin 的图象向右平移 个单位长度所得图象对应的函数为y=3sin =3sin .由2k- 2x- 2k+ ,k

9、Z,得该函数的递增区间为 k+ ,k + (kZ). 7.(2013湖北理改编,4,5分)将函数y= cos x+sin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后, 所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 . 答案 x+ 0 2 x Asin(x+) 0 5 -5 0 8.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期内 的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一 个对称

10、中心为 ,求的最小值. 解析 y=f(x)= cos x+sin x=2sin ,向左平移m(m0)个单位长度后得f(x+m)=2sin ,图象关于y轴对称,令x=0,得 =2, 从而m+ =2k ,kZ,故m=2k+ 或m=2k- ,kZ,又m0,所以mmin= . 解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- . 数据补全如下表: x+ 0 2 x Asin(x+) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin . (2)由(1)知 f(x)=5sin , 得g(x)=5sin . 因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ. 令2x+2- =k,kZ, 解得x= +

11、 -,kZ. 由于函数y=g(x)的图象关于点 中心对称, 令 + -= ,kZ, 解得= - ,kZ. 由0可知,当k=1时,取得最小值 . 1.(2017课标全国文改编,6,5分)函数f(x)= sin +cos 的最大值为 . 考点二 三角函数的性质及其应用 答案 解析 f(x)= sin +cos = + cos x+ sin x = sin x+ cos x = 2sin = sin , f(x)的最大值为 . 一题多解 cos =cos =sin =sin , f(x)= sin ,f(x)max= . 2.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的

12、最大值为 . 答案 解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可知f(x)=2cos x+sin x= sin(x+)(tan =2), f(x)的最大值为 . 3.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+ cos x- 的最大值是 . 答案 1 解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可得f(x)=-cos2x+ cos x+ =- +1. x , cos x0,1. 当cos x= 时, f(x)max=1. 4.(2016课标全国理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图 象的对称轴为 . 答案 x= + (kZ) 解析 将函

13、数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin 2 =2sin 的图象,由2x+ =k+ (kZ),可得x= + (kZ).则平移后图象的对称轴为x= + (kZ). 易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin 的图象. 5.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力. (1)由sin = ,cos =- , f = - -2 , 得f =2. (2

14、)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin . 所以f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ. 所以, f(x)的单调递增区间是 (kZ). 6.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2 . (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f =0,a=1,求ABC面积的最大值. 解析 (1)由题意知f(x)= - = - =sin 2x- . 由- +2k2x +2k,

15、kZ,可得- +kx +k,kZ; 由 +2k2x +2k,kZ,可得 +kx +k,kZ. 所以f(x)的单调递增区间是 (kZ); 单调递减区间是 (kZ). (2)由f =sin A- =0,得sin A= , 由题意知A为锐角,所以cos A= . 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+ bc=b2+c22bc, 即bc2+ ,且当b=c时等号成立. 因此 bcsin A . 所以ABC面积的最大值为 . 评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识和基本方法,对 运算能力有较高要求.属中等难度题. 1.(2016课标全国,14,5分)函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到. C组 教师专用题组 答案 解析 函数y=sin x- cos x=2sin 的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位 长度得到. 方法总结 本题首先要将函数化为y=Asin(x+)(其中A0,0)的形式再求解,另外要注意图象