图形学第四章.

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1、第 四 章 图形的几何变换及裁剪 本 章 重 点 1. 二维图形的变换方法。 2.三维图形的变换方法。 3.二维线段的裁剪方法。 4.多边形的裁剪方法。 难点： 1.二维图形的级联(组合)变换。 2.多边形的裁剪算法。 4.1 概述 为了使被显示的对象数字化，通常是采用适当的坐标系耒 描述被处理的对象。图形和数字之间的联系也就是通过坐标建 立起来的。因此，所谓图形的几何变换实质上就是图形的坐标 变换。 一.几种坐标系 1. 世界坐标系(World Coordinates) 为了描述被处理的对象，要在对象所在 的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长 度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象 的描述

2、，这个坐标系通常就称之为世界坐标 系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手 三维笛卡儿坐标系。 x y z o 2. 观察坐标系(View Coordinates) 产生三维物体的视图，必须规定观 察点(视点)和观察方向。 好比照相时选择拍摄的位置和方向。 左手笛卡儿坐标系(上图)：观察坐标 系的原点通常设置在观察点(视点)，Z轴作 为观察方向。 右手笛卡儿坐标系：视点确定在Z轴 上的某一个位置，Z轴仍为观察方向(下图)。 x y z o 视点 x y z o 视点 3. 设备坐标系(Device Coordinates) 与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。 例如，显示器以分辨率确定坐标单位

3、，原点在左下角或左 上角；绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在 左下角。 4. 规格化设备坐标系(Normal Device Coordinates) 为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟 设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设 备的坐标规定耒输出的。这种设备坐标规定为0X1， 0Y1，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。 二. 图形变换的过程 建立物体的 WC 变换到 VC 在VC空间 进行裁剪 投影到 NDC 变换到 DC 在图形设备 上输出 三. 图形变换的特点 图形变换就是改变图形的几何关系，即改变图形顶点的坐 标，但图形的拓扑关系不变。 最基本

4、的图形变换可以分别用矩阵形式表示为： 平移变换 PPTm TmMx My Mx、My分别为X方 向和Y方向的平移量 。 比例变换 PPTs Sx 0 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子 。 旋转变换 PPTr cos sin -sin cos 0时为逆时针旋转 0时为顺时针旋转 Ts Tr 四. 齐次坐标 从形式上来说，用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n 个分量的向量的方法称为齐次坐标表示。 例如二维平面上的点(x，y)的齐次坐标表示为(hx，hy ， h)，h是任一不为0的比例系数。 给定一个点的齐次坐标表示 : (x，y，h)， 该点的二维笛卡儿直角坐标： (x / h，y / h

5、)。 同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)， 它在四维空间 中对应的向量即齐次坐标为(xh，yh，zh，h)，其中h0 。 齐次坐标的概念可以推广到n维空间的向量。齐次坐标的表 示不是唯一的，通常当h=1时，称为规格化齐次坐标。 4.2 二维图形变换 采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a b 0 c d 0 l m 1 P* = P M 二维变换矩阵中： a b c d l m 是对图形进行平移变换 x* y* 1 = x y 1 变换后的 顶点坐标 变换前的 顶点坐标 二维变换矩阵 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换 。 二维基本变换 1.比例变换 比例变换是让点的x

6、,y坐标各乘以一个比例因子，其变换 公式为： x = ax y = dy 因此，可令变换矩阵T为： T= ，则：X Y 1 = ax dy 1 = X Y 1 其中a，d分别为x，y方向上的比例因子(a，d0)。讨论： 若a = d = 1, 为恒等变换，即变换后点的坐标不变。 若a = d1，则为等比变换，变换结果是图形等比例放大（a = d 1） 或等比例缩小（a = d 0时沿+X向错切 ；c0时,沿+Y 向错切；b 0 时，图形沿 X (或 Y )正向错 切；当 c (或 b ) 0 时，图形沿 X (或 Y )负向错切。 平面图形绕任意点P（Xp,Yp)旋转角，需要通过以下几 个步骤

7、来实现： 将旋转中心平移到原点，变换矩阵为： 例1：绕任意点旋转变换 4. 二维图形的级联(组合)变换 对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联才能 实现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序，由于矩阵的乘法 运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的变换结 果也不相同。 T1 = 将图形绕坐标系原点旋转角，变换矩阵为： T2 = 将旋转中心平移回到原点的位置，变换矩阵为： T3 = 因此，绕任意点P的旋转变换矩阵为： T = T1 T2 T3 = 相乘后得： T = 显然，当xp=0，yp=0时，即为对原点的旋转变换。 例2：对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax + By + C

8、 = 0） 直线在X轴和Y轴上的截距分别为C/A和C/B，直线与X轴的夹 角为， =arctg(A/B)。 x y o x y o x y o 1 0 0 T1 = 0 1 0 C/A 0 1 cos sin 0 T2= sin cos 0 0 0 1 y x y o x y o x o 1 0 0 T3 = 0 -1 0 0 0 1 cos sin 0 T4 = sin cos 0 0 0 1 1 0 0 T5= 0 1 0 C/A 0 1 组合变换矩阵为： cos2 sin2 0 T =T1T2T3T4T5= sin2 cos2 0 (cos2-1)C/A sin2*C/A 1 原图形上的

9、任意一点 P(x,y) 对该直线的对称变换都可用 下式实现 ： x* y* 1=x y 1T 4.3 三维图形变换 三维变换矩阵可表示为： a b c p d e f q h i j r l m n s 其中： a b c d e f 产生比例、错切、镜象和旋转等基本变换。 h i j l m n 产生沿x、y、z三轴方向上的平移变换。 p q 产生透视变换。 r s 产生等比例缩放变换。 T = 三维基本变换矩阵左上角的33矩阵的主对角线上的 元素a，e，j的作用是使物体产生比例变换。 比例变换矩阵为： T = 其中a，e，j分别为沿x，y，z轴方向的比例因子。 对点进行比例变换： x y

10、z 1T = ax ey jz 1 = x y z 1 三维基本变换 1. 比例变换 三维对称变换包括对原点、对坐标轴和对坐标平面的对 称，常用的是对坐标平面的变换，我们对此加以讨论： 对xoy平面的对称变换 变换矩阵： 变换后点的坐标： x y z 1 = x y z 1 Txoy = x y z 1 对xoz平面的对称变换 2. 对称变换 变换矩阵为 ： 变换后点的坐标： x y z 1 = x y z 1 Txoz = x y z 1 对yoz平面的对称变换 变换矩阵为 ： 变换后点的坐标： x y z 1 = x y z 1Tyoz = x y z 1 上述的对称变换结果如下图所示。

11、Z X Y Z X Y Z X Y 分别对XOY（左）、XOZ（中）和YOZ（右）平面 的对称变换结果 错切变换是指三维立体沿x，y，z三个方向产生错切 ，错切变换是画斜轴测图的基础，其变换矩阵为： x y z 1T = x+dy+hz bx+y+iz cx+fy+z 1 = x y z 1 由变换结果看出，一个坐标的变化受另外两个坐标变 化的影响。 沿x含y错切 3. 错切变换 变换矩阵 ： 错切变换： x y z 1Tx(y) = x+dy y z 1 = x y z 1 沿x含z错切 变换矩阵 ： 错切变换： x y z 1Tx(z) = x+hz y z 1 = x y z 1 沿y含

12、x错切 变换矩阵: 错切变换： x y z 1Ty(x) = x y+bx z 1 = x y z 1 沿y含z错切 变换矩阵： 错切变换： x y z 1Ty(z) = x y+iz z 1 = x y z 1 沿z含x错切 变换矩阵 ： 错切变换： x y z 1Tz(x) = x y z+cx 1 = x y z 1 沿z含y错切 变换矩阵 ： 错切变换： x y z 1Tz(y) = x y z+fy 1 = x y z 1 与二维旋转变换类似，三维旋转变换可分为绕坐标轴 旋转变换和绕任意轴的旋转变换。 三维旋转变换要比二维旋转变换复杂得多，但方法是 相似的。三维旋转变换可以看作是三个

13、二维旋转变换，且 旋转轴分别为x，y，z轴。 绕x轴旋转角 变换矩阵为 ： 4. 旋转变换 绕y轴旋转角 变换矩阵为 ： 绕z轴旋转角 变换矩阵为 ： Z X Y Z Y X X Z Y 物体分别绕x（左）、y（中）、z（右）轴旋转90 变换结果 将空间一点（x，y，z）平移到一个新的位置（x y z ）的变换矩阵为： 变换后新点的坐标为： x y z 1 = x y z 1T = x+l y+m z+n 1 其中：l，m，n分别为沿x，y，z方向上的平移量。 5. 平移变换 三维图形变换中要注意的几个问题： 1.在三维图形的比例变换中，经常会采用 s 来实现整体 的比例变换。当 |s| 1

14、时，三维图形整体等比例缩小。 2.三维图形的对称变换是相对于各个坐标平面进行的。 3.三维图形的旋转变换是指绕坐标轴的旋转。 在采用右手坐标系的情况下，图形绕坐标轴逆时针旋转时 ，转角为正 ( 拇指指向坐标轴的方向，其余四指指向旋转方 向 )，顺时针旋转为负。 4.三维图形的级联(组合)变换 对于复杂的三维图形变换，也需要通过若干个变换矩阵的 级联才能实现。特别要注意的是变换的方法和矩阵级联的顺序 。 例:绕任意轴旋转的问题。如图所示，设空间一般位置的旋转 轴是AA， A的坐标是(xA，yA，zA)，A的坐标是(xA，yA，zA) ，空间一点P(x，y，z)绕AA轴旋转角到P(x，y,z)，即 ： x y z 1 = x y z 1TAR TAR 为绕任意轴的旋转变换矩阵，它是由基本变换矩阵组合而 成，我们的任务就是要构造矩阵TAR ，步骤如下： X Z Y O P A A P 将点P与旋转轴AA一直起作平移变换，使旋转轴AA 过原点，A与原点重合，其变换矩阵为： X Z Y O A A 令AA轴首先绕X轴逆时针旋转角，使其与XOZ 平面共面，然后再绕Y轴顺时针旋转角，使其与Z轴重 合，该变换矩阵为： 绕X轴旋转角 绕Y轴旋转角 其中，和角可通过旋转轴的两个端点的坐标计算得到 。 X Z Y O A A A 将P点绕Z轴（即AA轴）旋转角，变换矩阵为：