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1、第二章 导数与微分 第2章 导数与微分 1 导数的基本概念 求导的基本法则 函数的微分 中值定理、洛必达法则 导数及其应用 第二章 导数与微分 几个常见的概念区别 2 极限反映函数值在某个过程中的变化趋势。 连续性反映函数在某个范围内是否出现间断。 导数反映对于自变量的变化，函数值的变化快 慢。 微分反映对于自变量的微小变化，函数值的变 化。 第二章 导数与微分 2.1 导数的概念 3 2.2.1 函数的变化率问题举例 4 解：1）先求平均速度 5 2）再求瞬时速度 第二章 导数与微分 2.1.2 导数的定义及其几何意义 1.导数的定义 6 第二章 导数与微分 关于导数定义的几点说明 7 8
2、9 10 第二章 导数与微分 2.函数可导的条件 11 函数在 点可导的充要条件是在该点的左右导数均 存在且相等。 12 利用导数的定义求导数的一般步骤 13 14 15 同理： 3、导数的几何意义 T 由此可知 特别地 函数在某点可导与该点存在切线的关系为：可导必 有切线，有切线未必可导。 17 第二章 导数与微分 2.1.3 函数连续性与可导性的关系 18 1.函数在某点可导，则在该点必连续。 2.函数在某点连续，在该点未必可导。 函数在某点可导是在该点连续的充分不必要条 件；函数在某点连续是在该点可导的必要不充 分条件。 19 20 第二章 导数与微分 2.2 求导法则 21 22 第二
3、章 导数与微分 2.2.1 函数四则运算的求导法则 23 24 25 第二章 导数与微分 2.2.2 反函数求导法则 26 即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 27 第二章 导数与微分 2.2.3 复合函数求导法则 28 即：复合函数对最底层自变量的导数等于最高层变 量对中间变量的导数乘以中间变量对最底层自变量 的导数。 29 30 例:求下列函数的导数 31 第二章 导数与微分 2.2.4 隐函数求导法 32 第二章 导数与微分 隐函数求导基本方法 33 34 例14 求椭圆在点处的切线方程. 求导得：解：两端对自变量 又点位于椭圆上，由导数的几何意义知： 故所求切线方程为： 即： 所
4、求切线的斜率为： 35 第二章 导数与微分 2.2.5 对数求导法 36 解：两边取对数得： 两边对求导数得： 即： 解：设，则 两边取自然对数得：在 则 39 即： 所以： 第二章 导数与微分 2.2.6由参数方程确定的函数求导 40 例 求椭圆在处的切线方程. 解：因为 所以故 又当时， 由点斜式得所求切线方程为： 即： 41 8、高阶导数 第二章 导数与微分 例19，求 解： 44 例20 设求证： 三、函数的微分 1、微分的定义 导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢 的程度（变化率的大小），即： 当 时的极限. 微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下 函数改变量 本身的. 46 引例
5、面积的改变量大小 如图，正方形金属薄片受热发生变化其边长由 变化到 ，问此薄片的面积改变了多少？ 设此薄片的面积为 ，则 是边长 的函数 薄片受热面积的改变量为： 第一部分称为 的线性部分，它表示阴影面积， 是主要部分； 第二部分为 的高阶无穷小（若 ）， 是次要部分. 其中： 故可以用第一部分近似代替面积的增量，即： 称这个近似值为面积S的微分，记为 49 第二章 导数与微分 2、函数可微与可导的关系 50 上式表明函数的微分等于该函数的导数与自变量 微分的乘积. 上式两边除以 ，得： 注意 由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求出来了 ，因此，求微分的问题，可归结为求导数的问题，故 求导
6、法又叫微分法. 3、微分的几何意义 函数在某点的微分等于曲线在该点 切线的纵坐标的增量。 第二章 导数与微分 4、微分的基本公式和运算法则 所以根据函数的和、差、积、商的求导法则，得到 函数的和、差、积、商的求微分法则. 57 第二章 导数与微分 1）微分基本公式 58 第二章 导数与微分 59 第二章 导数与微分 2）微分法则 60 3）复合函数微分法则 又 因为 于是 所以 若 为自变量 的复合函数： 61 第二章 导数与微分 解： 例21 设 ，求 62 解法一： 解法二：先求导，再写出微分表达式 1.例22 设 ，求 即： 5、微分在近似求值中的应用 64 第二章 导数与微分 65 第
7、二章 导数与微分 解： 66 1.罗尔定理 四、中值定理、罗彼塔法则 （一）中值定理 67 第二章 导数与微分 几何解释 68 第二章 导数与微分 解 69 2.拉格朗日中值定理 70 第二章 导数与微分 几何解释(如图) 从上图可知:罗尔定理是该定理特例. 71 第二章 导数与微分 73 3、柯西中值定理 74 第二章 导数与微分 定理2.6(柯西中值定理 ) 其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例. 75 第二章 导数与微分 综上所述 ： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔 定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗 日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同 时柯西中值定理也可视为
8、拉格朗日中值定理的参 数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理 更为广泛 76 （二）洛必达法则 如： 1、 定理2.7 若 称此求函数极限的法则为洛必达法则 78 第二章 导数与微分 更进一步地: 解 79 第二章 导数与微分 解 解 80 第二章 导数与微分 如:答案：1 81 第二章 导数与微分 解 83 第二章 导数与微分 解 84 第二章 导数与微分 解 注意：在利用罗彼塔法则的同时，也利用一些别 的方法，如等价无穷小或重要极限等，可使 运算变得更简捷. 85 第二章 导数与微分 解 86 在使用洛必达法则求未定式的极限时，需要注意： 1)每次使用都需检验是否满足洛必达法则的条件；
9、 2)随时化简，并注意同其它求极限方法并用； 五、利用导数研究函数的性态 （一）函数的单调性如图： 第二章 导数与微分 反之， 则有如下定理： 89 第二章 导数与微分 定理2.8 （函数单调性判别法） 理解 90 第二章 导数与微分 91 解 92 第二章 导数与微分 解 93 第二章 导数与微分 小结讨论函数单调性的步骤： A.求函数的定义域，找出无定义的点； B.求函数的导数，找出导数为零的点和不可导点； C.用这些点将定义域分成部分区间； D.在每一部分区间内讨论函数导数的正负，从而 确定函数在该区间内的单调性. 94 第二章 导数与微分 3 3 95 第二章 导数与微分 这是一种非常
10、典型的题目，须掌握其方法. 96 第二章 导数与微分 (二）函数极值、最值 97 第二章 导数与微分 理解 依定义 1）极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值， 而不是区间或定义域内的最值； 2）极值不一定唯一； 3）极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的 点，但不可能为端点（如图） 98 第二章 导数与微分 导数为零的点称为函数的驻点. 此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点 处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是 ，有水平切线的点未必是极值点，这就有： 99 第二章 导数与微分 100 第二章 导数与微分 那么如何判断某点是否取得极值呢？ 101 第二章 导数与微分 1
11、02 第二章 导数与微分 103 第二章 导数与微分 3 104 第二章 导数与微分 注意 若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时， 则用第一充分条件或定义判定. 105 待续 续 107 总结求函数极值的步骤为： 第二章 导数与微分 方法： 2、最值 109 第二章 导数与微分 解： 110 第二章 导数与微分 在实际应用中，往往根据问题的性质可以确定 函数在其定义域内存在最值.此时如果函数在其 定义域内只有一个驻点，那么不必讨论该点是 不是极值点，就可断定函数在该点的函数值就 是所要求的最值. 111 第二章 导数与微分 112 第二章 导数与微分 可见： （三）函数的凹凸性和拐点 113
12、 第二章 导数与微分 114 第二章 导数与微分 凹的 凸的 115 第二章 导数与微分 曲线凹凸性的判定方法： 116 第二章 导数与微分 117 第二章 导数与微分 连续曲线凹凸性的分界点称为曲线的拐点. 拐点只能是二阶导数为0的点或二阶导不存在的点. 118 第二章 导数与微分 总结判定函数凹凸性的步骤： （1）求定义域； （2）求二阶导等于0的点和不存在的点， 并用这些 点将定义域分成若干开区间； （3）判别二阶导在每个开区间内的符号，从而确定 曲线的凹凸性，同时也确定这些点是否拐点. 119 第二章 导数与微分 120 第二章 导数与微分 3 121 第二章 导数与微分 曲线的渐近线有三种： 水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线. （四）函数曲线的渐近线 122 又 （五）函数作图的一般步骤 127 第二章 导数与微分 128 第二章 导数与微分 极 小 拐 点 极 大 +0- +0- 0 + 图 形 1 凸凸 凹 凹 129 第二章 导数与微分 （4） 130 131 132 133 134 第二章 导数与微分 135 第二章 导数与微分 拐 点 极 大 +0- -0+- 图 形 -3 凸凸凸凹 136 第二章 导数与微分 又 137 第二章 导数与微分 138 第二章 导数与微分 139
