剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系.

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1、1 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载 其集度其集度 4-44-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between (Relationships between load,shearload,shear force,andforce,and bending moment)bending moment) 一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系 (Differential r

2、elationships between load,shear force,and (Differential relationships between load,shear force,and bending moment)bending moment) q q = = q q ( (x x) ) 规定规定 q q ( (x x) )向上为正向上为正. . 将将 x x 轴的坐标原点取在梁的左端轴的坐标原点取在梁的左端. . x y q(x) F M 2 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) x y q(x) F M FS

3、(x) M(x) FS(x)+dFS(x ) M(x)+dM(x) 假想地用坐标为假想地用坐标为 x x 和和 x x + + d dx x 的两横截面的两横截面mm- -m m 和和 n n- -n n从梁中从梁中取取 出出 d dx x 微段微段. . m m n n q(x) C x x + + d dx x 截面处截面处 则分别为则分别为 F FS S ( (x x) + ) + d dF F S S ( (x x) ) ， MM(x(x) + ) + d dMM( (x x) ) . 由于由于d dx x 很很小，小，略去略去 q q( (x x) ) 沿沿 d dx x 的的变化变

4、化. . mm- -m m 截面截面上内力为上内力为 F F S S ( (x x) ) , , MM( (x x) ) n x m m n dx 3 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) FS(x) M(x) FS(x)+dFS(x ) M(x)+dM(x) m m n n q(x) C 写出微段梁的平衡方程写出微段梁的平衡方程 得到得到 略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得 4 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 公式的几何意义公式的几何意义 （1

5、1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小; ; （2 2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小; ; （3 3）根据根据 q q( (x x) ) 0 0 或或 q q( (x x) ) 0 0 来来判断弯矩图的凹凸性判断弯矩图的凹凸性. . 5 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) MM( (x x) ) 图图为一向为一向上上凸的二次抛物线凸的二次抛物线. . F FS S ( (x x) ) 图图为一向右下方

6、倾斜的直线为一向右下方倾斜的直线. . x FS(x) O 二、二、q q( (x x) )、F F S S ( (x x) )图、图、MM（x x）图三者间的关系）图三者间的关系 (Relationships between load(Relationships between load, shear , shear forceforce, and , and bending bending moment diagrams)moment diagrams) 1.1.梁上有向下的均布荷载梁上有向下的均布荷载, ,即即 q q( (x x) 0 时时, , 向向右上方倾斜右上方倾斜. . 当当

7、F F S S ( (x x) 0 ) 0 时时, , 向向右下方倾斜右下方倾斜. . xO M(x) O M(x) x 7 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 5. 5. 最大剪力可能发生在最大剪力可能发生在集中力所在截面集中力所在截面的的 一侧一侧; ; 或或分布载荷发生变化的区段上分布载荷发生变化的区段上. . 梁上最大弯矩梁上最大弯矩 MMmax max可能发生在 可能发生在F F S S ( (x x) = ) = 0 0 的截面上的截面上; ; 或发生在集中力所在的截面或发生在集中力所在的截面 上上; ;或集中力

8、偶作用处或集中力偶作用处的一侧的一侧. . 3. 3. 在集中力作用处剪力图有突变在集中力作用处剪力图有突变, , 其其突变值突变值 等于集中力的值等于集中力的值. . 弯矩图弯矩图有转折有转折. . 4. 4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突其突 变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化. . 8 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 无荷载无荷载集中力集中力 F C 集中力偶集中力偶 M C 向下倾斜的直线向下倾斜的直线 上凸的二次抛物线上凸的二次抛物线 在在

9、F F S S =0=0的截面的截面 水平直线水平直线 一般斜直线一般斜直线 或 在在C C处有转折处有转折 在剪力突变在剪力突变 的截面的截面 在紧靠在紧靠C C的某的某 一侧截面一侧截面 一段梁上一段梁上 的外力情的外力情 况况 剪力图剪力图 的特征的特征 弯矩图弯矩图 的特征的特征 MMmax max所在 所在 截面的可截面的可 能位置能位置 表表 4-1 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 q 0 向下的均布荷载向下的均布荷载 在在C C处有突变处有突变 F 在在C C处有突变处有突变 M 在在C C处无变化处无变化 C 9 (Internal f

10、orces in beams)(Internal forces in beams) 三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系 (Integral relationships between load, shear force, (Integral relationships between load, shear force, and bending moment)and bending moment) 若在若在 x x = = x x 1 1 和和 x x = = x x 2 2 处两个横截面无处两个横截面无集中力集中力, , 则则 10 (Int

11、ernal forces in beams)(Internal forces in beams) 等号右边积分的几何意义等号右边积分的几何意义是是 x x 1 1 , , x x2 2 两两横截面间分布荷载图的面横截面间分布荷载图的面 积积. . 若横截面若横截面x x = = x x 1 1 ，x x = = x x 2 2 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得 式中式中 MM( (x x 1 1 ) ) ，MM( (x x 2 2 ) ) 分别分别为为在在 x x = = x x 1 1 和和 x x = = x x 2 2 处处两个横截面上的弯两个横截面上的弯 矩矩. . 等号右边积

12、分的几何意义是等号右边积分的几何意义是 x x 1 1 , , x x 2 2 两个横截面间剪力图的面积两个横截面间剪力图的面积. . 式中式中， 分别为在分别为在 x x = = x x 1 1 和和 x x = = x x 2 2 处两个横截面处两个横截面上上 的剪力的剪力. . 11 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 例题例题10 10 一简支梁受两个一简支梁受两个力力 F F 作用作用, , 如如图所示图所示. . 已知已知 F F= 25.3kN, = 25.3kN, 有有 关尺寸如图所示关尺寸如图所示. .试用

13、本节所述关系作剪力图和弯矩图试用本节所述关系作剪力图和弯矩图. . 解解 ： 将梁分为将梁分为 ACAC、CDCD、DBDB 三段三段. . 每一段均属无载荷区段每一段均属无载荷区段. . FF BA CD 200115 1265 FR RA AFR RB B 231 （2 2）剪力图）剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线 ACAC段段 （1 1）求梁的支反力）求梁的支反力 12 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 23.6 1.7 27 + B FRB A CD 200115 1265 FF FRA

14、 231 DBDB段段 最大剪力发生在最大剪力发生在DBDB段中的任一横截面上段中的任一横截面上 CDCD段段 13 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 4.72 3.11 + BA CD 200115 1265 FF FRAFRB 231 最大弯矩发生在最大弯矩发生在 C C 截面截面 （3 3）弯矩图）弯矩图 每段梁的弯矩图均为斜直每段梁的弯矩图均为斜直 线线. .且梁上无集中力偶且梁上无集中力偶. . 14 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) （4

15、4）对图形进行校核）对图形进行校核 在集中力作用的在集中力作用的C C, , D D 两点剪力两点剪力 图发生突变图发生突变, , 突变值突变值 F F=25.3kN=25.3kN. .而弯而弯 矩图有尖角矩图有尖角. . 在在AC AC 段段剪力为正值，弯矩图剪力为正值，弯矩图 为向上倾斜的直线为向上倾斜的直线. . BA CD 200115 1265 FF FRAFRB 231 4.72 3.11 + 23.6 1.7 27 + 在在CDCD和和DBDB段，剪力为负值，段，剪力为负值， 弯矩图为向下倾斜的直线弯矩图为向下倾斜的直线. . 最大弯矩发生在剪力改变正、负最大弯矩发生在剪力改变正

16、、负 号的号的 C C 截面截面处处. .说明剪力图和弯矩图说明剪力图和弯矩图 是正确的是正确的. . 15 (Internal forces in beams)(Internal forces in beams) 例题例题11 11 一简支梁受均布荷载作用，其集度一简支梁受均布荷载作用，其集度 q q = 100kN= 100kN/m , /m , 如如图图 所示所示. . 试用试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图简易法作此梁的剪力图和弯矩图. . 解解 F F R RA AFR RB B E q A B CD 0.21.6 1 2 将梁分为将梁分为 ACAC、CDCD、DBDB 三段三段. . ACAC和和DBDB上无荷载，上无荷载，CDCD 段有向下段有向下的均布荷载的均布荷载. . 1 1） 计算梁的支反力计算梁的支反力 16 (Internal forces in beams)(Internal forces in