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1、第三讲解三角形的综合问题【考情快报】(1)以选择、填空题的形式考查，主要利用正弦定理与余弦定理实现边角互化，进而解三角形(如求角度、边长、面积及判断三角形的形状等)，属基础题.(2)以解答题的形式考查主要的题型有两类：一是以实际生活为背景常与度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际相结合通过巧妙设计和整合命制新颖别致的考题，该类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的能力，属中档题目；二是与平面向量、三角恒等变换等知识交汇命题，考查解三角形的有关知识，属基础题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.解三角形把三角形的_和它们的_叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素
2、的过程叫解三角形.三个角A，B，C对边abc2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)(2)方位角指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数顺时针三、重要公式1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，其中R是三角形外接圆的半径提醒：已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的不定性.2.余弦定理及其推论(1)定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与
3、它们夹角的余弦的积的两倍.a2_，b2_，c2_.b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC(2)推论cosA，cosB_，cosC_.3.三角形面积公式SABC=_=_=_.4射影定理在ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边.则abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA热点考向一三角形中的求值与证明【典例】1.(2012长沙模拟)锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，设B2A，则的取值范围是()(A)(22)(B)(02)(C)(，2)(D)()2.(2012西城模拟)在ABC中，a=15，b=10A=60，则
4、cosB=()(A)(B)(C)(D)-3.(2012新课标全国卷)已知abc分别为ABC三个内角ABC的对边，acosC+asinC-b-c=0.(1)求A；(2)若a=2，ABC的面积为，求bc.【解题指导】1.求解本题注意两点：一是借助正弦定理实现边角互化；二是注意题设条件“锐角三角形ABC”，可以限定角的范围.2.先由正弦定理求出sinB，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B的范围，最后利用平方关系求出cosB.3.由正弦定理及三角恒等变换知识求(1)，利用余弦定理及三角形面积公式求(2)【解析】1.选D.2cosA，又ABC是锐角三角形，30A45，则2cosA()2.选C.由正
5、弦定理知又ab故AB，从而0B60cosB=.3.(1)由正弦定理得：acosC+asinC-b-c=0sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinCsinAcosC+sinAsinC=sin(A+C)+sinCsinA-cosA=1sin(A-30)=A-30=30A=60.(2)S=bcsinA=bc=4，a2=b2+c2-2bccosAb+c=4.解得:b=c=2.【拓展提升】1正弦定理的三种常见变形(1)abcsinAsinBsinC；(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，其中R为ABC外接圆的半径；(3)sinA，sinB，sinC.2.在解三角形时，正、余弦
6、定理可解决的几类问题(1)正弦定理可解决两类问题：已知两角及任一边，求其他边或角；已知两边及一边的对角，求其他边或角提醒：情况中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分(2)余弦定理可解决两类问题：已知两边及夹角求第三边和其他两角；已知三边，求各角热点考向二三角形形状的判断【典例】1.(2012泉州模拟)已知ABC的三个内角满足：sinA=sinCcosB则三角形的形状为()(A)正三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形2.(2012哈尔滨模拟)已知ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsinA则()(A)ABC是钝角三角形(B)ABC是锐角三角形(C
7、)ABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形(D)无法判断3.在ABC中，若，试判断ABC的形状【解题指导】1.利用角与角关系：A+B+C=，由A(BC)可得sinAsin(BC)，然后借助两角和的正弦公式求解.2.结合数量积的定义求解.3.把边化成角借助两角和与差的三角函数公式求解或将边化成角求解.【解析】1.选B.由sinA=sinCcosB得sinA=sin(B+C)=sinCcosBsinBcosC=0cosC=0C=.ABC为直角三角形.2.选A.acsinA又=accosB，acsinAaccosB，sinAcosB，cosAsinB，又cosC=-cos(A+B)=sinAsin
8、B-cosAcosBcosBsinB-cosAcosB=cosB(sinB-cosA)0.角C为钝角.ABC为钝角三角形.3.方法一：由正弦定理及，得.所以，所以.再利用正弦定理，得.所以a2b2，即ab.即ABC为等腰三角形方法二：由，得asinBcsinBcosBbsinAcsinAcosA.又asinBbsinA，所以sinBcosBsinAcosA，即sin2Bsin2A.由于bccosA0，由正弦定理得，sinBsinCcosA，即cosCsinA0，即cosC0，所以C，即AB.故有2A2B，所以AB，从而ABC为等腰三角形【互动探究】把题1的条件“sinA=sinCcosB”换成
9、“a2bcosC”，试判断相应问题.【解析】由正弦定理：sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sin(BC)0，BC.sinA=sin2BA=2B或A+2B=，故所求三角形为等腰直角三角形或等腰三角形.【拓展提升】根据所给条件确定三角形形状的两种途径(1)化边为角.即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式.(2)化角为边.将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系提醒：常用正弦(余弦)定理实施边、角转换热点考向三解三角形应用举例【典例】(12分)(2012石家庄
10、模拟)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量AD=BD=14，BC=10AC=16C=D(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由【解题指导】首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C的大小，进而求AB的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断.【规范解答】(1)在ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC.=162+102-21610cosC.在ABD中，由余弦定理及C=D整理得
11、.AB2=AD2+BD2-2ADBDcosD=142+142-2142cosC.2分由得：142+142-2142cosC=162+102-21610cosC，整理可得cosC=，4分又C为三角形的内角，所以C=60又C=DAD=BD所以ABD是等边三角形，即AB的长度是14.6分(2)小李的设计符合要求.理由如下：SABD=ADBDsinDSABC=ACBCsinC因为ADBDACBCC=D10分所以SABDSABC.又已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC建造环境标志费用较低.即小李的设计使建造费用较低.12分【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤及流程(1)步骤读题.阅读理解题意，弄清
12、问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系建模.根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型解模.根据题意选择正弦定理或余弦定理求解还原.将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等(2)流程【思想诠释】1.本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可2.常见的数学模型及相关问题归类如下：1.(背景新)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC=105和BAC=3
13、0，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD=90和ABD=45.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)【解析】在ABD中BAD=90ABD=45ADB=45.AD=AB=80BD=80.在ABC中，BC=.在DBC中，DC2=DB2+BC2-2DBBCcos60=(80)2+(40)2-28040=9600，DC=40航模的速度v=米秒.答：航模的速度为米秒.【解析】(1)由题设c3=a3+b3，可得cacb，故C为最大角；只需要判断a2+b2-c20，因为(a2+b2)c-c3=(a2+b2)c-(a3+b3)=a2(c-a)+b2(c-b)0即(a2+b2)c-c30a2+
14、b2c2，根据余弦定理，有cosC=0，故ABC是锐角三角形.2.(交汇新)在ABC中，(1)设c3=a3+b3，证明ABC是锐角三角形；(2)设cn=an+bn，当n3(nN)时，试判断ABC是何种三角形，请说明理由.(2)因为cn=an+bn，所以cn-2an-2cn-2bn-2，因为(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-(an+bn)=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)0所以(a2+b2)cn-2-cn0即(a2+b2)cn-2cn所以a2+b2c2根据余弦定理，有cosC=0，故当n3(nN)时，ABC是锐角三角形.3.(角度新)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=.(1)该小组已测得一组，的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【解析】(1)=tanAD=，同理AB=，BD=.AD-AB=BD，故得，解得：H=.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d=AB，得tan=tan=，(当且仅当d=55时，取等号)故当d=55时，tan(-)最大.因为0
