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1、普通物理实验课绪论普通物理实验课绪论 误差及其分类 1.误差的定义 真值：客观 存在的真实值 误差测量值 x真值a 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 误差有正有负，其绝对值 反映测量值x和 真值a之间的偏差，故称：测量误差 产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境影响等 分类： 仪器误差：如：螺旋测微计制造时的螺纹公差。 理论近似引起的误差：伏安法测电阻电流表内接、 外接由于忽略表内阻引起的误差。 人为误差: 由于观察者的习惯、反应快慢等引起的 误差。 2.误差的分类及其规律（按性质和产生的原因分） （1 1）系统误差：系统误差：在对同一被测量的多次测量过程 中，绝对值和符号保持恒定或按某一
2、确定的规律变 化的测量误差。 （2 2）偶然误差偶然误差（随机误差随机误差）：）：对同一量的多次重复测 量中，绝对值和符号变化不定的测量误差 。 产生原因：实验条件、环境因素无规则的起伏变化、 观察者生理分辨能力等的限制 例如：读数时的视差影响。 特点：绝对值小的误差出现 的概率比大误差出现的 概率大；绝对值很大的 误差出现的概率为零 多次测量时分布对称（正态分布），具有抵偿 性。因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。 f() - 0 （3）最佳估计值算术平均值 算术平均值 理论可证明： 当测量次数n， 算术平均值可作为测量结果：最佳估计值 测量与误差测量与误差 测量及其分类 测量分为直接
3、测量和间接测量 直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行 函数关系的辅助计算可直接得到被测值的测量； 间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已 知函数关系经过计算从而得到被测值的测量。 任何测量都可能存在误差 直接测量值误差的估计直接测量值误差的估计 1. 标准偏差 （也称均方误差） 假定对一个量进行了n次等精度测量，测得的值 为xi (i =1, 2，n)，可以用多次测量的 算术平均值作为被测量的最佳值(假定无系统误差) 近似真实值 等精度测量：在相同条件下进行的多次测量 测量列：在等精度测量中的一组n 次测量的值 这时误差用贝塞尔公式表示 称为标准偏差 （标准差） 意义: 表示某次测量
4、值的随机误差在 之间的 概率为68.3。 f() - 0 偏差：测量值与近似真实值的差值为偏差 贝塞尔 公式 2. 算术平均值的标准偏差 意义: 测量平均值的随机误差在 之间的概率 为 68.3%。反映了平均值接近真值的程度。 f() - 0 这个概率叫置信概率，也叫 置信度，用p表示，即 p0.683 随机误差在 之间的概率： 95.4%： p0.954 一般教学实验：测510次 理论上：测量次数n， 0 5 10 15 20 n 平均值的 标准偏差 实际测量多少次合适？ 由图可知： n大于10后，曲线变得较平坦。 3、t 分布 实际中，测量次数n不可能趋于无穷。当测量次数 较少时，随机误差
5、服从的规律是t分布。 正态分布 f() t分布 0 t分布的曲线比正态分 布的要平坦，两者的分 布函数不同，n较小时, t分布偏离正态分布较 多，n较大时, 趋于正 态分布 t分布 标准偏差 (正态分布） t分布 与正 态分布的 误差计算 关系 t值与测量次数有关 下表是当置信度 p=0.95的 t 值 n34567891015100 t 4.33.182.782.572.452.362.312.262.141.97 2.481.591.204 1.050.9260.8340.7700.7150.553 0.139 所以对一般的教学实验，也可用Sx（贝塞尔公式）作为 估算误差的公式。 由上表可
6、知，当5n10时， 接近1 ASx 与 及t分布的误差估算公式对比 测量列中某次测 量值的标准偏差 平均值的标准偏差 测量次数n为有限次：用t分布（也可用贝塞尔公 式）计算直接测量量的误差。 对t分布 4.测量的不确定度 : 用统计方法评定 B : 用估算方法评定 取 仪器误差 A 取 偶然误差 合成不确定度 因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用不确定 度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理 。 不确定度：表示由于测量误差的存在而对被 测量值不能确定的程度。 仪器不确定度 一般取：最小刻度（分度值）的1/10、1/5、1/2 或最小刻度 例：用米尺测量某物的长度为202.5mm,
7、仪器不确定度取0.5mm,即：L= 202.5 0.5mm （1）对仪器准确度未知的 （2）对非连续读数仪器（如数字仪表） 取其最末位数的一个最小单位 （3）已知仪器准确度 如一个量程150mA，准确度0.2级的电流表 测某一次电流，读数为131.2mA 最大绝对不确定度为I=1500.20.3mA 测量的结果：I131.20.3mA 最大绝对不确定度 ： 如：电表 电表板面上的符号 交流 U 磁电系仪表 或 1.0 1.0 准确度等级为1.0 2 绝缘强度试验电压为2千伏 或水平放置或 垂直放置 二级防外磁场：在强度为400AW/m(5奥斯特)的直流 均匀外磁场下，仪表指示值的改变不应超过1
8、.0 B U 1.0 2 B 工作环境：温度：2050；湿度：95以下 直流 (1)A类不确定度（偶然误差）较大时： (2) A类不确定度与仪器不确定度 相差不大时： 可只取仪器不确定度 (3)只测一次或A类不确定度很小： 因 不确定度 实际中不确定度的处理原则： x 只取1位， 下一位0以上的数一律进位 例： 的末位与x所在位对齐，下1位简单采取4舍5入 （1）测量值和不确定度 5. 测量结果的表达：测量值、绝对不确定度和相对不 确定度 例：算得x2.1mm 取x3mm 注：以上为本教材的规定。不同的教材，有差异 。 有时候还需要将测量结果与 公认值或理论值进行比较（ 即：百分误差）： 相对
9、不确定度 与 哪个测量不确定度小？ 一般取2位 （2）相对不确定度 注意分母 相对不确定度 完整的结果 表示 或 例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，测量6 次，结果如下（单位mm）： 250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10 则：测得值的最佳估计值为 不确定度 （t =2.57) 游标卡尺的仪器不确定度取0.02mm,即I=0.02mm 合成不确定度 例：用螺旋测微计(分度值：0.01mm）测某一钢丝的直 径，6次测量值yi分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时读得螺旋测微计的零位
10、y0为：0.003, 单位mm，请给出测量结果。 解：最佳值 不确定度 结果：y=0.2470.005mm 仪器不确定度：I=0.004mm 或取1/2分度值0.005mm 对于一级千分尺，一般 取0.004mm。实验室一般 是一级千分尺。 间接测量值间接测量值不确定度的估计的估计 不确定度的传递公式的传递公式 （1） （2） 完整的结果表示 和相对不确定度哪个简单，先算哪个！ 有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则 1. 1. 有效数字的一般概念有效数字的一般概念 有效数字有效数字由准确数字和一位可疑数字组成。 0 5 10 15 20mm 例：13.7mm 注意：（1）末位和中间的0是有
11、效数字，如:13.0cm 、 10.3mm，为3位有效数字。 （2）数字前面表示小数点的0不是有效数字，如： 0.0130mm为3位有效数字。 准确 可疑（估读 ） （3）变换单位时有效位数不变， 如： 80cm=0.80m0.8m 2、有效数字的运算规则 （1）加减运算的结果末位以参 与运算的小数位最少者相同。 如 7.65+8.268=15.92 75-10.356=65 （2）乘除运算结果的有效位数 多少以参与运算的有效位数最 少的相同或多一位。 如 3.841 2.42=9.30 40009=3.6104 2.0000.99=2.00 7.65 +) 8.268 15.918=15.9
12、2 可疑 取一位可疑 3.8 4 1 2.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 7 6 8 2 9.2 9 5 2 2 =9.30 注意：不同 3.8 4 1 8.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 3 0 7 2 8 3 2.3 4 0 2 2 =32.34 3位 4位 下划 线表 示可 疑位 4位 (3)三角函数、对数、指数运算的结果有效数字 三角函数：结果有效数字由度数的有效位数决定 例：sin30o07(4位） sin30.12o=0.5018 (注意：不要写成sin30o7（3位）) 对数：结果的有效数字，其小数点后的位数（尾数） 与真数的位数相同 例：ln1.550=
13、0.4383 （4）自然数 1,2,3,不是测量而得，可以视为无穷多 位有效数字的位数，如D2R，D的位数仅由直测量 R的位数决定。 （5）无理常数的位数也可以看成很多位有效数字。 例如L2R, 应比R多取一位，若R2.23cm（3位） ，则取3.142（4位）, 或用计算器输入 。 注：1、不用算误差时，要用上面的规定确定有效位数 。 2、若为减少运算中出现过多位时用此规定，但中 间过程可多取12位（可疑位）（但不能任意减 少），最后由不确定度决定。 例 已知一圆柱体的质量 , 高度 , 用千分尺测量得直径D的数据如下 表，求圆柱体的密度及不确定度 。 H D 次数i 1 2 3 4 5 6
14、平均 Di(mm) 5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 解： 次数i 1 2 3 4 5 6平均 Di(mm) 5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 =0.003730.004(mm) 查表，n6 时的t值 取1位 合成不确定度 千分尺的分度值是0.01mm， 若仪器不确定度取1/2分度值： I= 0.005mm 比参加运算的数据中最少的位 数多一位，或就用表示。 用附表 中最后 一行公 式 与不确定度所在位 对齐（是小数位） 相对不确定度取2位（ 有效位，不是小数位） 不确定度取1位 作图时要先整理出(或算出）数据表格，并
15、要用正 规纸张作图。 用作图法处理数据用作图法处理数据 T(0C) 15.724.026.531.135.040.345.0 R()2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107 作图步骤：实验数据列表如下： 1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以整 数格 对应于数据中最后一位准确位(即数据的倒数第二位）。 2. 标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称 或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。 4. 连成图线： 3.标实验点: 实验点可用“ ”、“” 等符号标出。 5.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必 要的说明。 数据要列出 T(C0) R() 15.0 20 .0 25 .0 30 .0 35.0 40 .0 45 .0 50 .0 55.0 T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0 R()2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107 RT 曲线 3.100 3.
