误差基本性质处理讲解

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1、第章 误差的基本性质与处理 第节 随机误差 第节 系统误差 第节 直接测量值的处理 第节 间接测量值的处理 第节 随机误差 测量列：对同一量，多次等精度重复测量 每个测量值都含有误差，就个体而言是无规律的。 但从总体上，随机误差服从一定的统计规律。可以 用统计学的方法，从理论上估计随机误差对测量结 果的影响。 随机误差产生的原因： 仪表内部存在有摩擦和间隙等的不规则变化。 测量人员对仪表最末一位读数估计不准。一切数字 式仪表，由于计数脉冲列与闸门开关时间的相对相位 关系而产生的1个字的误差等。 周围环境不稳定对测量对象和测量仪器的影响，如 气压、温度、电磁干扰、振动等因素的微量随机变化 都会使

2、测量对象在数值大小上引起相应的变化，使测 量仪器本身的精度发生变化。 随机误差产生的原因也可以认为是由不可控制的或 不值得耗费很大财力物力去消除的各种因素造成的。 在这些随机因素中，有的我们已经认识到，估计到， 有些我们可能尚未发现，但是它们肯定是影响测量的 次要因素。 在某些情况，经剔除后尚残存的那些数值微小、符 号可变可不变的系统误差也混在随机误差中间。测量 时把一切次要因素都统统考虑进去是不必要的，有时 也是不可能的。科学的方法正是要抓住主要的，忽略 次要的因素，并估价次要因素造成的影响范围，从而 得到可以信赖的结果。随机误差越小，测量结果的精 密度越高。 一、随机误差分布的性质 1、有

3、界性 在一定测量条件下，随机误差总是在一定的、相当 窄的范围内变动，无论如何，误差的绝对值不会超 过一定界限。 2、对称性 当测量次数足够多后可发现，出现正的误差和负误 差的次数大致相等；更确切地说，绝对值相等但符 号相反的误差以同样的频率出现，对称轴是各测量 值的算术平均值。 3、抵偿性 在等精度测量的条件下，全部随机误差的算术平均 值随测量次数无限增加而趋于零。 4、单峰性 误差的绝对值越小，其出现的频率就越大，随机误 差为零时出现的概率最大。（测量次数，而非有 限次） 以上四点性质都是从大量的观察统计中得到的，已 经获得了公认，因此也称为随机误差分布的公理。 正是在这几点性质的基础上，（

4、德国.高斯）推导出 了正态分布函数，并反过来发展了误差理论。 二、随机误差的正态分布 正态分布密度函数的推导从略。 正态分布的概率密度： 数学期望； 方差； 对于随机误差 ， 其数学期望 （讨论随机误差的前提，已去除了系统误差和粗大 误差。） 三、算术平均值原理 1、最优概值 在测量中，对真值的最佳估计，称为最优概值。 当 时， 由此可见，如果可能对某一量进行无限多次测量， 就可以得到不受随机误差影响的值，或其影响甚微 可以忽略。由于实际中都是有限次测量，所以我们 在直接测量中把算术平均值作为接近真值的最优概 值。 2、剩余误差 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按定义 式（ ）求得随机误

5、差。可用算术平均 值（最优概值）来代替被测量的真值，这时得到的 称为剩余误差。 剩余误差的两个性质： ； 最小。（由此性质，建立了最小二乘 法原理。） 四、误差的评价指标 为了评定测量列和它的最优概值的优劣，需要引 入一些评价指标，常用的有标准误差和极限误差 。 1、测量列的标准误差 （即均方根） 被测量的真值 未知， 不能 计算，必须用剩余误差（ ）来表示。 标准误差 （贝塞尔公式） 由上页图中可以看出，标准误差 的数值小，则该测 量列相应小的误差就占优势，任一测量值对算术平 均值的分散就小，测量的可靠性就大，即测量精度 高；反之，测量精度就低。 是正态分布曲线 的拐点 （曲线凹凸性发生改变

6、的点，由曲线上各点切线方 向的走向确定）。 （德国） 随机误差落在- ， 之内的可能性为68.3，而落 在该区之外的机会少。因此测量列的标准误差 可以 看作在给定条件下，所有测量值随机误差的一个代表 ，它表征着测量列的精密度。（ 值越小，精密度越 高）。 误差的表示方法与置信度有不可分离的关系。只有在 人们所愿意接受的置信度时，误差（即置信区间）才 有意义。由于置信度不同，误差的表现方法也各不相 同。 2、最优概值的标准误差 最优概值（算术平均值）要比每个测量值都更接近 于真值，因此不能用测量列标准误差 来评价最优 概值的优劣。 最优概值对真值的分散程度；反映准确度 （系统误差） 任一测量值对

7、最优概值分散度;反映精密度 （随机误差） 用剩余误差表示，则有： 真值落在 , 的概率是68.3，也称置信度为 68.3； 真值落在 , 的概率是95.5； 真值落在 , 的概率是99.7。 3、测量列的极限误差 随机误差落在 , 区间内的概率为99.7,而落 在外面的概率只有0.3，即每测得1000次，其误差 绝对值大于 的次数仅有3次。因此，在有限次的测 量中，就认为不会出现大于 的误差，故把 定 为极限误差。凡在测量中出现误差绝对值大于 的 测量值，就认为属粗大误差而予以剔除。 4、最优概值的极限误差 类似于测量列的极限误差，可推得最优概值的极限 误差为： 第节 系统误差 系统误差是测量

8、中按一定规律变化的误差。 一、系统误差的分类（按产生原因） 仪器误差：由于测量仪器本身不完善或老化产生。 安装误差：由于测量仪器安装和使用不正确而产生。 环境误差：由于测量仪器的使用环境（如温度、湿度、 电磁场等）与仪器使用规定的条件不符而产生。 方法误差：由于测量方法或计算方法不当而产生或 是由于测量和计算所依据的理论本身不完善等原因而 导致。有时也可能是由于对而测量定义不明确而形成 的理论误差。 操作误差（人为误差）：由于观察者先天缺陷或观 察位置不对或操作错误而产生。 动态误差：在测量迅变量时，由于仪器指示系统的 自振频率、阻尼以及与被测迅变量之间的关系而产生 的振幅和相位误差。 系统误

9、差越小，表明测量准确度越高。 二、系统误差的消除 对有些系统误差，只要严格按照测量仪器的安装方 法、使用条件、操作规程等实施，是不难消除的。 交换抵消法：将测量中某些条件（如被测物的位置 等）相互交换，使产生系统误差的原因相互抵消。 替代消除法： 预检法：将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一 物理量进行多次重复测量。通过比较找出差值作为 以后测量的修正值。 第节 直接测量值的处理 一、直接测量值的最优概值 二、标准误差 测量列的标准误差： 最优概值的标准误差： 三、判断是否存在粗大误差（与极限误差比较） 四、测量结果的表达式： , 置信度68.3 , 置信度95.5 , 置信度99.7 在n次

10、等精度测量中，算术平均值的标准误差 是 测量列标准误差 的 倍。当n愈大时，所得算术 平均值愈接近真值，测量的精度愈高。 增加测量次数可以提高测量精度，但是由于测量精度 是与测量次数的平方根成反比，因此要显著地提高测 量精度，必须付出较大的劳动代价。 一定时，当n 10以后， 减小得已很缓慢。此外，由于测量次 数愈大时，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新 的误差。因此一般情况下，取n10以内较适宜。 第节 间接测量值的处理 工程中碰到的大多数量是无法直接测量的，（例如物 质的密度、锅炉的热效率等）。只能通过直接测量与 被测量有一定函数关系的其他量，并根据函数关系计 算出被测量。 在直接测量中

11、，测量误差就是被测量的误差；但在间 接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。直接 测量量的平均值及误差是如何影响间接测量的平均值 和误差的，就是误差传播理论所要研究的问题。 研究误差传播，可以从两个方面来提出问题：一是所 谓的正问题，即已知函数关系和各个测量值的误差， 求间接测量值的误差；另一类问题，是在限定的间接 测量总误差的条件下，如何根据已知的函数关系，分 配各个直接测量值的误差，这就是误差传播理论中的 反问题，它是试验设计中的一个重要问题。 一、函数误差的基本公式 在间接测量中，对于初等多元函数 ， 其增量（即测量误差） 间接测量值； 直接测量值。 此即称为函数误差的基本计算公式。

12、为各个误差的传递系数。 二、函数系统误差的计算 在间接测量中，将直接测量值的系统误差 代替上式中的微分量 ， 可近似地得到函数的系统误差 。 此即称为系统误差的传递公式。 使用的测量方法不同（即函数关系不同），尽管各 直接测量量的相对误差相同，但最终形成的被测量 的误差则可能不同。因此，在选用测量方法时，应 注意选择最终误差小的测量方法。 在间接测量中的各个直接测量量，对被测函数量最 终误差的影响程度是不相同的。因此，我们应把注 意力主要集中在降低对测量的最终误差影响大的那 个直接测量量的误差上。 三、函数随机误差的计算 对于间接测量量 中互相独立的 ；进 行直接测量并消除了系统误差，进行m次

13、测量则有： 将上面各式平方后再相加，得： 上式除以m,得到:（设 与 的相关系数为 ） 因各直接被测量相互独立，所以 ，这样得 到： 也可写作 此即随机误差传递公式 其中， ，称为部分误差。 四、函数误差的分配 对于 ，若规定了间接测量量 的误 差，要求决定 的误差，并保证各直接测量量的误差 累积后不大于对 规定的误差。如果不再给出其他条 件，则这个问题就会有很多解。 因此，常按等分配原则决定直接测量量 应具有的误 差分量；然后对各分量的大小进行调整，对容易测准 的量分配以较小的误差，对难于测准的量分配较大的 误差；调整完后应进行验算，以验证累积误差是否大 于对 规定的误差。（如果分量中有的误差大小已经 确定，则分配时应从总误差中先扣除这部分值，余量 再向其余各项分配。 按等作用原则分配误差，则 贝塞尔（ Bessel；17841846） 德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基 人。 贝塞尔的主要贡献在天文学，以天文学基 础（1818）为标志发展了实验天文学。 在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该 函数的一系列性质及其求值方法，为解决物 理学和天文学的有关问题提供了重要工具。