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1、 1、突变理论的基本概念 1.1 尖点突变模型 1.2 尖点突变的特征 2、突变理论在煤矿中的应用 2.1 用突变理论研究煤柱失稳 2.2 用突变理论研究煤柱顶板系统失稳 2.3 用突变理论研究煤与瓦斯突出 2.4 用突变理论研究煤层底板透水 3、总结 此模型是Zeeman于1969年发明的。用 卡纸剪成直径为单位长的圆盘，圆盘中心O 固定在一块底板上，圆盘可以转动。在靠近 圆盘边缘的Q点钻一个孔，这里固定两根长 度为单位长的橡筋的一端。其中一根橡筋的 另一端用图钉固定在底板R上，OR长为2单 位。第二根橡筋的另一端P是可动点，不同 程度拉长橡筋，并把P点沿着垂直于OR的方 向来回移动而观察圆
2、盘的反应。 通过研究发现，P点移动时，圆盘随着转动，在大多数情况下，这种转 动是平稳的，圆盘连续地取得所有角度值。但在一些特殊位置，圆盘会突 然转过一个很大的角度，即Q点由上边跳到下边，或者相反，由下边跳到上 边。根据Q点跳跃时画出P点轨迹，得到一个曲边钻石形ABCD，一般称 A,C为尖点。可以看出，P点在钻石形以外时，圆盘只有一个平衡位置；P 点在钻石形内部时，圆盘有两个平衡位置，分别对应于Q点在中心线两侧的 情况。另外，并非每当P点越过钻石形曲边时都会发生突跳，而是有一个前 提：P点需在此之前越过对称线另一侧的一条曲边，这称为“滞后”现象。 突变理论是由著名的法国数学家Thom 于1972
3、年提出 的，后经英国数学家Zeeman 等扩充并加以完善。突变理 论是研究系统的状态随外界控制参数连续改变而发生不连 续变化的数学理论，在力学、物理学、光学、经济学、心 理学、工程学、社会学、医学等诸多领域得到了广泛应用 。 突变理论认为：系统所处的状态，可以用一组参数描 述，当系统稳定时，标志该状态的某一函数就有唯一的取 值；当参数在某一范围变化时，该函数有多个极值时，系 统处于不稳定状态；随着参数的继续变化，系统又从不稳 定态进入另一状态下的稳定态。此时，系统就会发生突变 。 突变理论是研究不连续现象的一个新兴数学分支， 它是在系统结构稳定性理论、拓扑学和奇点理论等基础上 发展起来的。 突
4、变理论的一个显著优点是，即使在不知道系统有哪 些微分方程，更不用说如何解这些微分方程的条件下，仅 在少数几个假设的基础上，用少数几个控制变量便可预测 系统的诸多定性或定量性态。目前，我们所用的均为初等 突变理论。依据分类定理，Thom研究提出在控制变量不 大于5个的情况下，突变形式最多有以下7种: 名称控制 变量 数 状态 变量 数 势函数标准 形式 平衡曲面M 折叠突变11 尖点突变21 燕尾突变31 另外，还有蝴蝶突变、双曲脐点突变、椭圆脐点 突变、抛物脐点突变，这里不再一一列举。对于上述 突变模型，日常应用最多的只有一种，即尖点突变模 型。 尖点突变模型是由 Zeeman 提出来的，其势
5、函 数是一个二参函数，标准形式为： 式中，x为状态变量，a，b为控制变量 令势函数V（x）的一阶导数为零，即 ： 此方程为系统平衡方程，在（x，a，b）空间中的图形 称为突变流行，是一个具有光滑皱褶的曲面，其上一点代表 所研究系统的一个平衡状态，故又称为平衡曲面。 对势函数求二阶导数得： 当 时，系统势函数取极小值，平衡位置位于 平衡曲面的上叶或下叶，此时的平衡状态是稳定的。 当 时，系统势函数取极大值，则平衡状态是 不稳定的。 当 时，系统处于临界状态，在平衡曲面上， 为曲面上叶和下叶与中叶的交界。该方程又称为系统的 奇点值方程，与一阶导数联立消去x可得系统突变的分 叉集方程： 当系统状态处
6、于平衡曲面的上叶时，平衡是 稳定的。随着控制变量b的变化，状态变量x也会 发生变化，系统平衡点转移到折痕处，此时，系 统达到临界平衡状态。在外界扰动下，哪怕是一 个无穷小的扰动，系统由折痕处移到曲面中叶上 ，由于中叶是不稳定状态，无法存在，必然跳跃 到曲面的下叶上，从而引起系统发生突变。 平衡曲面方程关于x反对称，当a=0、b=0时 x=0，故原点应在尖点处。置b=0，a0 时， ， 。故 平衡曲面是反S形，而不是S形 通过上述分析可知： 只有当控制变量a0时才有跨越分叉集的可能，故系 统发生突变的必要条件为a0。 当控制变量a、b满足分叉集方程时，系统则处于突跳 前的临界状态，由此可以得到系
7、统突跳前的临界条件。 1、双模态。也就是说，系统的位势对于控制参数的某些范围只有两个极小值 2、不可达性。也就是说，有一个不稳定的平衡位置。 3、突跳性。系统由一个消失的极小跳至另一个局部极小，其位势的数值有一 个不连续的变化。突跳总是意味着位势值将在很短的时间内有一个很大的改变 。 4、滞后性。也就是说，由第一个局部极小跳向第二个局部极小时的控制参数 位置与由第二个局部极小跳向第一个局部极小时的控制参数位置不同。 5、发散性。通常，对于控制参数值的一个小扰动只引起状态变量的初值和终 值的微小变化，但在退化临界点附近，控制参数初值的微小变化却可能导致状 态变量终值的很大变化，这一不稳定性即为发
8、散现象。 为确定系统在新的势函数下所处的位置，常用的约定有两种： 1、理想延迟约定。系统留在原来的稳定平衡位置上，直到这个稳定平衡位置消失 2、Maxwell约定。系统总是转移到使它的势全局极小的稳定平衡位置。 突变理论的应用方式大致可分为两类：一类是定 量描述，主要适用于数、理、化等“硬”科学中，其方法 是寻找一个势函数，与势函数相类似的函数或与某一突 变流行或分叉集有相同数学描述的系统，应用适当的数 学手段或技巧，将其归结为Thom分类表中的某一类型 。另一类是定性分析，主要适用于生物、社会等“软”科 学。即由观察到的特征现象如跳跃、滞后等设想一个初 等突变模型。然后作数据拟合，看这个数学
9、模型能否用 来很好地解释观察到的现象，最后受其启发而推断现象 的机理，导出一个物理模型。 在进行矿山开采时，矿体开采后，采场的原始应力状态被 破坏，从而致使应力重新分布，时常导致矿柱失稳破坏，引发 上覆岩体破坏，造成冒顶事故。这种矿体开采后，当矿柱承受 的应力超过自身强度时，发生的不连续的发散突变，即矿柱失 稳破坏的现象，属于突变理论的范畴，可以采用突变理论来研 究，从另一角度探求矿柱的失稳机制。 （1）高明仕，中国矿业大学。应用突变理论，建立了煤（矿）柱变形失稳 引发冲击（岩爆）破坏的尖点突变模型，得到了在刚度比和全位移两个两 个变量控制空间下煤（矿）柱失稳发生冲击动力现象的分叉点集，并得到
10、 了一个便于现场监控测量预报煤（矿）柱失稳冲击的位移公式。 （2）郭文兵，河南理工大学。应用突变理论，分析了不同破坏形式（能量 控制性破坏和构造控制性破坏）下的条带煤柱破坏失稳的机理，建立了条 带煤柱突变破坏失稳的尖点突变模型，得出影响条带煤柱是否突变失稳及 稳定的影响因素有采宽，留宽，采深，煤层厚度，覆岩容重等。 在采矿工程中，应用柱式采煤方法，采空区内会留下 大量的煤柱，这些煤柱支撑着坚硬难冒顶板岩体。由于煤柱 表面逐渐分化和脱落，使煤柱的有效刚度减小，当达到某一 临界值时，在顶板上层岩土和顶板自重的作用下，顶板就会 产生大面积的突然冒落，从而引发矿山地质灾害的发生。故 将煤柱顶板看作一个
11、系统来研究。 （1）贺广零，同济大学。基于温克尔假设，把坚硬顶板视为弹性梁，把煤 柱等效为连续均匀分布的支撑弹簧，从而形成煤柱顶板相互作用系统的力 学模型；基于尖点突变理论，对采空区煤柱顶板系统失稳机理进行了探索 ，导出了该系统失稳的充要力学依据，并得出了顶板破坏的临界厚度。 （2）秦四清，中国科学院工程地质力学重点试验室。把坚硬顶板视为弹性 梁，用突变理论研究了坚硬顶板和煤柱组成的力学系统的演化失稳过程，得 出系统失稳主要取决于系统的刚度比k与材料的均匀性或脆性指标m值，并 给出了失稳的充要条件力学判据和失稳突跳量的表达式。 煤与瓦斯突出是煤矿矿井中的严重灾害，是瓦斯特殊涌 出的中危险性最大
12、的一种。通常所说的含瓦斯煤岩突出在煤矿 地下采掘过程中，在很短时间内从煤岩壁内部向采掘工作面突 然喷出煤岩和瓦斯的现象。它是一种伴有震动声响和强烈冲击 的动力现象，不仅破坏矿井通风系统，使井巷充满瓦斯和含瓦 斯煤岩抛出物，同时可能引起瓦斯爆炸与火灾事故，导致生产 中断等。 （1）潘岳，青岛理工大学。在煤与瓦斯突出中，将煤体视为球盖壳体，用 突变理论，建立了单个煤壳失稳解体的突变模型，并对由于偏应力作用导 致煤壳失稳解体机制进行了研究。 （2）肖福坤，黑龙江科技学院。把地应力、瓦斯压力归结为瓦斯煤应力变 化的主因，而将煤的物理力学性质归结为影响媒体应变非线性变化的主要 因素，通过建立煤与瓦斯突出
13、的尖点突变模型，得出了瓦斯突出起动的突 变机制和条件。 在进行承压水上采煤时，当煤层开采后，底板岩层的原始应 力状态被破坏，致使应力重新分布，从而导致底板岩层失稳破坏 形成导水裂隙，其结果往往造成底板承压水通过采动裂隙突然涌 入开采作业空间，形成底板突水。这种煤层开采后，当底板岩层 承受的水压超过自身强度时，发生的不连续的发散突变，即底板 岩层失稳破坏形成底板突水的现象，属于突变理论研究的范畴。 （1）王连国，山东科技大学土木建筑学院。通过建立煤层底板突水的一个尖 点突变模型，对煤层底板失稳破坏发生突水的机理进行了分析。基于平衡曲面 方程，求得煤层底板水压应力比Ip。当Ip1时，发生突水；当I
14、p1时，不会发 生突水。 （2）王凯，中国矿业大学。基于煤层底板突水的尖点突变特征，应用突变理 论的方法，针对煤层底板突水预测指标监测信号，分析了单变量序列尖点突变 模型及其稳定判据，提出了煤层底板突水的突变理论预测方法。 其实，突变理论在采矿工程中的应用除了上述几个方面 ，还有其他方面。比如：用突变理论分析顶板锚拉支架系 统的稳定性；用突变理论分析狭窄矿柱岩爆；用突变理论分 析圆形巷道岩爆等。 经过多年的发展，突变理论在采矿工程中得到了广泛的 应用，特别是最简单的尖点突变模型，已经被广泛地用来定 性或定量的解决大量工程实际问题。采矿工程中大量的问题 都属于内部作用未知或不完全知道的系统，与突变理论的研 究背景和方法极其相似。随着人们对突变模型的深入研究和 计算机技术与突变理论的融合，非线形问题的解决能力得到 了提高，突变理论在采矿工程中的应用前景也会更加广阔。
