二元函数极限不存在性问题之研究

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1、第 15 卷 第 3 期 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报 1999 年 7 月V o l. 15 N o. 3 J O URNAL O F W U ZHO U TEA C HERS C OLL EGE O F GU A N GXI J u l . 1999二 元 函 数 极 限 不 存 在 性 问 题 之 研 究庄 兴 义(梧 州 师 专 数 学 系 ,广 西 贺 州 542800)摘 要 研 究 二 元 函 数 极 限 不 存 在 性 问 题 ,本 文 给 出 判 别 二 元 函 数 极 限 不 存 在 性 的 若 干 路 径 选择 方 法 。关 键 词 二 元 函

2、数 极 限 ;路 径 选 择 ;不 存 在 性求 函 数 极 限 问 题 ,是 数 学 分 析 的 核 心 问 题 之 一 ,也 是 微 分 法 的 基 础 。 对 二 元 函 数 f ( x , y) 来 说 ,由 于 在 平面 上 p p。 有 无 穷 多 种 方 法 ,致 使 求 二 元 函 数 的 极 限 要 比 一 元 函 数 复 杂 得 多 。 特 别 是 判 别 二 元 函 数 极 限 不存 在 时 ,选 择 路 径 需 要 一 些 技 巧 ,为 此 ,本 文 得 出 了 以 下 一 些 路 径 选 择 方 法 。先 给 出 二 元 函 数 极 限 的 定 义定 义 1 设 函

3、数 z = f ( x , y) 在 点 p 。 ( x。 , y。 ) 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 (点 p 。 ( x。 y。 ) 可 以 除 外 ) , p ( x , y) 是该 领 域 内 异 于 p 。 ( x0 , y0) 的 任 意 一 点 ,若 当 p 以 任 何 方 式 趋 近 于 点 p。 ( p p 。 ) 时 ,函 数 的 对 应 值 f ( x , y) 趋近 于 一 个 确 定 的 常 数 A ,我 们 称 A 是 函 数 z = f ( x , y) 当 x x。 , y y。 时 的 极 限 ,记 作 limx x。 , y y。 f ( x , y)

4、 = A。定 义 2 若 符 合 下 列 两 条 件 之 一 ,则 函 数 极 限 limx x。 , y y。 f ( x , y) 不 存 在 。 (1) ( x , y) 沿 一 种 路 径 趋 于 ( x0 , y0) 时 ,函 数f ( x , y) 没 有 极 限 ; (2) ( x , y) 沿 二 种 不 同 路 径 趋 于 ( x0 , y0) 时 ,函 数 f ( x , y) 极 限 数 虽 然 都 存 在 但 不 相 等 。因 此 ,判 断 二 元 函 数 f ( x , y) 当 p p 0 时 极 限 不 存 在 问 题 ,就 可 转 化 为 如 何 选 择 p p

5、 0 的 不 同 路 径 问 题 ,而 路 径 的 选 择又 与 f ( x , y) 函 数 结 构 密 切 相 关 。 下 面 给 出 几 种 判 别 二 元 函 数 极 限 不 存 在 的 路 径 选 择 方 法 。1 选 择 直 线 路 径对 关 于 x - x0 , y - y0 的 齐 零 次 函 数 f ( x , y) ,如 果 f ( t ( x - x0) , t ( y - y0) ) = t 0 f ( x - x0 , y - y0) ,且 f ( x , y) c ( c 为 常数 ) ,通 常 选 择 直 线 路 径 y - y0 = k ( x - x0) ,

6、当 动 点 p ( x , y) 沿 定 义 域 内 的 直 线 y - y0 = k ( x - x0) 趋 近 于 ( x0 , y0) 时limx x。 , y y。 f ( x - x0 , y - y0) =limx x。 , y = k( x - x0) + y0 y0 f (1 ,y - y0x - x0) = f (1 , k) ,此 时 极 限 值 与 k 有 关 , f (1 , k) 不 是一 个 确 定 的 常 数 ,从 而 极 限 不 存 在 。例 1 求 limx 1, y 2x - 1x - 1 + ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2解 :因 为 f

7、( x , y) = x - 1x - 1 + ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2是 关 于 x - 1 , y - 2 的 齐 零 次 函 数 ,当 ( x , y) 沿 直 线 y - 2= k( x21) 趋 近 于 点 (1 ,2) 时 ,有 limx 1 , y 2 x - 1x - 1 + ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2= limx 1y = k( x - 1) + 2 2x - 1x - 1 + ( x - 1) 2 + k2 ( x - 1) 2= 11 + 1 + k2随 着 k 的 取 值 不 同 , 11 + 1 + k2没 有 确 定 的 值

8、 ,因 而 极 限 不 存 在 。2 选 择 二 次 曲 线 路 径对 满 足 f ( t ( x2x0) , t ( y - y0) ) = t0 f ( x - x0 , y - y0) 的 函 数 f ( x , y) 其 中 0 , 0 ,令 t = ( x - x0) - 1 ,则 f ( x - x0 , y - y0) = f (1 , ( y - y0) , ( x - x0) - ) ,这 时 选 取 路 径 y - y0 = k( x - x0) - ,当 p ( x , y) 沿 曲 线收 稿 日 期 1998 - 12 - 1995第 15 卷 第 3 期 广 西 梧

9、州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报 1999 年 7 月V o l. 15 N o. 3 J O URNAL O F W U ZHO U TEA C HERS C OLL EGE O F GU A N GXI J u l . 1999y - y。 = k ( x - x 。 ) ( x x0) 趋 近 于 ( x0 , y0) 时 ,则 f ( x , y) f (1 , k) ,其 值 依 赖 于 k 而 不 恒 为 常 数 ,表 明 极限 不 存 在 。例 2 ,求 limx 1y 0( x - 1) 2 y( x - 1) 4 + y2解 :因 为 f ( x , y) = (

10、x21)2 y( x - 1) 4 + y2 =y - 0( x - 1) 21 + y - 0( x - 1) 2 2令 y = k ( x - 1) 2 ,则 f ( x , y) = k1 + k2 ,当 ( x , y) 沿 曲 线y = k ( x - 1) 2 趋 近 于 (1 ,0) 时 ,有limx 1y 0( x21) 2 y( x21) 4 + y2 =limx 1y = k ( x - 1) 2 0y( x - 1) 21 + y( x - 1) 2 2 =k1 + k2随 着 k 的 取 值 不 同 ,k1 + k2没 有 固 定 的 值 ,因 而极 限 不 存 在 。

11、3 极 坐 标 路 径对 满 足 条 件 f ( t ( x2x0) , t ( y - y0) ) = t f ( x - x0 , y - y0) ( 0) 的 函 数 f ( x , y) ,一 般 地 :一 方 面 可 以 选择 直 线 y - y0 = x - x0 作 为 一 条 路 径 ,另 一 方 面 由 于 在 极 坐 标 系 下 , f ( rcos , rsin ) = r f ( cos , sin ) ,故 可 适当 选 择 另 一 路 径 r = r ( )例 3 ,求 limx 0y 0x2 + y2x + x2 + y2解 :因 为 f ( x , y) = x

12、2 + y2x + x2 + y2,一 方 面 取 直 线 路 径 y = x 0 ( x 0) ,有limx 0y 0x2 + y2x + x2 + y2= limx 0y = x 02 x2(1 + 2) x = 0另 一 方 面 :再 选 r ( ) = 1 + cos ,对 x = rcos , y = rsin (当 x 0 , y 0 时 ,有 ) 有 f ( rcos , rsin ) =r2r + rcos =r1 + cos 由 于 r ( ) = 0 ,因 此 当 时 , r 0 limx 0y 0x2 + y2x + x2 + y2= lim r1 + cos = 1 对

13、 两 种 不 同 的 路 径 ,极 限 都 存 在 ,但 不 相 等 ,故 极 限 不 存 在 。4、 分 式 曲 线 路 径当 f ( x , y) 为 分 式 函 数 ,有 时 可 将 f ( x , y) 的 分 子 ,分 母 变 形 ,然 后 反 过 来 推 导 y 与 x 的 函 数 关 系 ,从 中 找出 恰 当 的 分 式 曲 线 路 径 。例 4 ,求 limx 0y 0xy + 1 - 1x + y解 :由 于 f ( x , y) = xy + 1 - 1x + y = xy(x + y) ( xy + 1 + 1)= xyx + y 1xy + 1 + 1易 知 limx

14、 0y 01xy + 1 + 1 =12 ,因 此 仅 需 讨 论limx 0y 0xyx + y由 于xyx + y的 分 子 、 分 母 都 只 含 有 y 的 一 次 幂 。 故 令xyx + y = k ( k 0) ,解 得 y =kxx - k当 x 0 时 ,有 y 0 ,因 此 沿 曲 线 y = kxx - k得limx 0y 0xy + 1 - 1x + y =limx 0y = kxx - k 0x + y - 1x + y06第 15 卷 第 3 期 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报 1999 年 7 月V o l. 15 N o. 3 J O U

15、RNAL O F W U ZHO U TEA C HERS C OLL EGE O F GU A N GXI J u l . 1999= limx 0y = kxx - k 0xy( x + y) ( xy + 1 + 1) =12 k 随 着 k 的 取 值 不 同 ,12 k 没 有 固 定 的 值 ,因 而 极 限 不 存 在 。这 几 种 选 择 路 径 的 方 法 基 本 上 解 决 了 判 断 二 元 函 数 极 限 不 存 在 性 的 问 题 ,同 时 也 解 决 了 判 断 某 些 分 段函 数 在 分 段 点 上 的 不 连 续 性 问 题 。例 5 设 二 元 函 数 f ( x , y) =xyx2 + y2 , x2 + y2 00 , x2 + y2 = 0试 判 断 f ( x , y) 在 原 点 (0 ,0) 是 否 连 续 。解 :若 f ( x , y) 在 原 点 (0 ,0) 连 续 ,则 极 限 值 应 与 函 数 值 相 等 ,但 当 (