概率论第一章习题课.

《概率论第一章习题课.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论第一章习题课.（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1、运算关系 包含： A 则 B 相等： A = B 和：至少有一个发 生 A+B 积：同时发生 AB A、B不相容 A、B 对立 记为 差： AB B =SA （一）、事件的关系 第一章 习题课 除与一般代数式运算相同的法则以外，注意 1）对偶律 2）其他 3）独立性事件的独立性是由概率定义的； n个事件的独立性要求个等式成立。 （三） 解题方法 1、一般概率 古典概型 2） 利用事件的运算 2、运算法则 化为事件的和 利用对立事件 A、B相互独立 分解到完备组中： 全概公式 一般情况 化为事件的积 一般情况 是完备组， 2） 用乘法公式 1） 在缩减完备组中计算，方法同 1。 3） 用逆概

2、公式 2、条件概率 例1 如图： 合上的概率为 0.8 合上的概率为 0.7 同时合上的概率为 0.5 求灯亮的概率。 解 设合上 合上B: 灯亮。 例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 管道 1，2，3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。 设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”，B表示“城市断水”。 城市 甲 乙 1 2 3 解 已知 求 例3 解 在下列两种情形下 和 1、 A、B互不相容 2、 A、B 有包含关系 解 有放回地抽取 两次，每次抽取一个球。 求下列事件的概率 1、A: 全红。 2、B:无红。 3、 D :白出现。

3、 解 例4 袋中有红、黄、白色的球各一个。 例5. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解:(方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师” = “ 3 名优秀教师中恰有 名女教师” 则 方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师” 例6从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋 子中至少有2只配成一双的概率。 解：（错解）基本事件总数：5双鞋子共有10只， 任取4只的取法总数为 A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”于是有利于A 的基本事件总数可这样计算： 从5双中任取一双有 种取法， 种取法， 然后在余

4、下的8只中任取2只共有 由乘法原理 可知有利于A的总数为 故所求概率为 若不成双，则与5双中任取的一双就出现4只鞋中恰 有2只成双的情形； 若成双则与5双中任取的一双就出现4只恰有2双的情形， （分析） 中的两只鞋有“成双”或“不成双”两种情况， 后者多算了 种 ，因此有利于A的基本事件总数 故所求概率为 方法一： A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双” 故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种 取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有 8种取法种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中取 一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法， 故所求概率为 它的对立事件 为“4只鞋子

5、均不成双” 可知 的样本点数为 方法二： 中包含的样本点总数是从5双不同的鞋子中任取4双， 再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有 种取法， 故 方法三： A1=表示“4只鞋子中恰有2只配成一双” A1所包含的样本点总数为从5双鞋子中任取一双，再从 另外4双中取不能配对的两只，共有 种取法，从而 A2=表示“4只鞋子恰好配成两双” 则且 A2所包含的样本点的总数为从5双中任取2双的取法数， 即有 种取法，从而 故 例7 设有一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率的概率为 1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并且 击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹 能击沉潜水艇的概率。 解

6、记A=击不沉，B=4枚中都击不中， C=4枚中只有一枚击伤其它三枚击不中 击沉的概率为 例8.设一批产品的一、二、三等品各占60、 30、10，现从中任取一件，结果不是三等品, 则取得的是一等品的概率为多少？ 解: 设“取出的一件产品为 由题意 等品” 例9.一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率 2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次 内取到合格品的概率 “第 次抽到合格品”解: 设 1) 2) 设“三次内取到合格品” 则且互斥 (方法二) 利用对立事件“三次都取到次品” 下利

7、用条件概率去做 例 10 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的 概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率 为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 由题意, 可知 例11 11只水果其中一级品8个，二级品3个，随机地分 给甲4个，乙6个，丙1个。 1) 已知丙未拿到二级品，求甲，乙均拿到二级品的概率 2) 求甲、乙均拿到二级品而丙未拿到二级品的概率。 解 记 A（B，C）=甲（乙，丙）拿到

8、二级品 （2） （1） 例13 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射 手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级 射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛， 试求该小组在比赛中射中目标的概率 解： 由全概率公式，有 例 14 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时 ，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其 合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好 的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品， 试求机器调整得良好的概率是多少？ 机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障 解 ： 1

9、5 用某种方法检验产品，若产品是次品，经检验是 次品的概率为90；若产品是正品，经检验是正 品的概率为99，现从含有5次品的一批产品 中随机的抽取1件进行检验，求下列事件的概率 1.经检验是次品；（2）检验是次品，实为正品 解：设A表示“随机抽取一件产品，该产品确实是正品” 则：P(A)=0.95, 设B表示“产品经检验被认为是次品” 16 A,B,C三人在同一办公室工作，房间里有三部电话， 据统计知，打给A,B,C的电话的概率分别为2/5，2/5， 1/5，他们常因工作外出， A,B,C三人外出的概率分 别为1/2，1/4，1/4 ，设三人的行动相互独立，求： （1）无人接电话的概率； （2

10、）被呼叫人在办公室的概率； 若某一时间段打进3个电话，求： （3）这3个电话打给同一个人的概率； （4）这3个电话打给不相同的人的概率： （5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。 解：设A，B，C分别表示A，B，C在办公室； TA表示有人打电话找A，TB表示有人打电话找B, TC表示有人打电话找C ，TA(i)表示第i个电话找A， 且事件间独立 (1)无人接电话的概率 （2）被呼叫人在办公室的概率； 上述三个方括号所示的事件互不相容，各次电话相互独立 （3）这3个电话打给同一个人的概率； （4）这3个电话打给不相同的人的概率： （5）三个电话都打给B的条件下，而B却不在的概率为： 思考与

11、练习： 1.选择题 设 解: 设P(A)=1/4, P(B)=1/2,若事件A与B相互 独立 等于多少？ 因A,B独立，所以 设P(A)=1/4, P(B)=1/2,若事件A与B互斥 等于多少？ 因A,B互斥，所以 2 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天下雨 的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下 雨的概率为0.1，试求： (1) 第一天下雨而第二天不下雨的概率； (2) 第一天不下雨第二天下雨的概率； (3) 至少有一天下雨的概率； (4) 两天都不下雨的概率； (5) 至少有一天不下雨的概率。 设Ai=“第i天下雨”，i1，2，则 解 (1)设 B=“第一天下雨第二天不下雨”，则 所以 (2) 设C=“第一天不下雨而第二天下雨”，则 所以 (3)设D=“两天中至少有一天下雨”，则 所以 (4) 设E=“两天都不下雨”，则 所以 (5)设F= “至少有一天不下雨”，则 所以 另解 由于 所以 3. 某建筑物按设计要求， 使用寿命超过50年的概率 为 0.8.超过60年的概率为0.6。 该建筑物经历50年之后， 它将在 10 年内倒塌的概率有多大。 解 设A “该建筑物使用寿命超过50年” 设B “该建筑物使用寿命超过60年”