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1、第二讲:线弹性断裂力学 弹性裂纹尖端场 的特征展开(Williams,1957) 概述 n裂纹可分为三种类型： I型张开型 II型剪切型 III型撕开型(反平面剪切型) n三种裂纹的形式中，I 型裂纹最为常见，在 工程设计和分析中最重要。但在数学分析上 ，III型裂纹比较简单。 主要应力分量 , ； 位移 III 型反平面剪切问题 n复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效 的。 n根据复变函数理论，任何解析函数的实部和 虚部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调 和函数。 n如果知道一个调和函数，则可以由柯西黎 曼方程求出与之共轭的调和函数。 III型反平面剪切问题 n可见型裂纹的线弹性裂
2、纹尖端场具有 奇 异性，且与 因子成正比。 n 称为型裂纹的应力强度因子，它是由 外加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。 III型反平面剪切问题 n在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中 的第二项，此时应力和位移场变为： 线弹性力学的平面问题和 反平面剪切问题 平面问题的复变函数表示 应力组合与位移组合 型和型裂纹问题 n平面问题 ，应变分量为： n线弹性本构关系为： n平衡方程为： n变形协调方程为： 型和型裂纹问题 n如果应力分量由Airy应力函数 表 示，即： n以上应力函数自动满足平衡方程。但要同时 满足变形协调方程，就必须满足以下双调和 方程： 型和型裂纹问题 n 满足拉普拉斯方程，
3、则类似于反平面问 题，可以将 表示为： n积分得： 为解析函数 和为解析函数 型和型裂纹问题 n易证： 对于平面应力对于平面应变 型和型裂纹问题 n设上述方程的解有以下的形式： n代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界 条件，可得： C1,C2为待定复常数 为实常数 型和型裂纹问题 n即： n解的一般形式表示为 : n类似于型问题，裂纹前端的应力应变场由 第1项主导，其系数为: 该方程组有非零解得条件是: （当 时，裂尖位移奇异，当 时， 代表刚体位移） 和分别为I、II型应力强度因子 型和型裂纹问题 n型情况下的应力场和位移场表示为： 式中： 型和型裂纹问题 n型情况下的应力和位移场表示为：
4、式中 型和型裂纹问题 n在某些情况下，应力、应变式中的第二项也 对材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的 应力场和位移场为： 第二项对应着刚体转动 和均 匀的横向应立场 的叠加效应 在文献中称为T应力，所以 上式中的裂尖场又称为K-T场 线弹性断裂力学 n裂纹的基本类型 I型张开型（opening mode) II型滑开型（sliding mode) III型撕开型（anti-plane shear mode) 张开型 滑开型 撕开型 线弹性断裂力学 n二维I型裂纹的应力强度因子 衡量裂纹尖端区应力场强度的参量 线弹性断裂力学 nII型裂纹尖端附近的 应力场 nIII型裂纹尖端附近的 应力场 线
5、弹性断裂力学 n均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附 近位移场（I-II混合型裂纹）： 线弹性断裂力学 nI型裂纹位移垂直于裂纹，呈平面张开型； nII型裂纹位移平行于裂纹，呈平面剪切型； nIII型裂纹反对称于裂纹及其延长线 线弹性裂尖场特点 n三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场，在不考虑展开 式的第二项的情况下得出的场统称K场。 nK场具有以下四个特点： v三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性，即在 裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于 所采用的本构关系所决定的，即认为材料能承受无限大的应 力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹 假设成
6、理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂 纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限 的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域 内K场是适用的。 线弹性裂尖场特点 vK场内的位移与 成线性比例关系。 v三种情况下的K场有相似的形式，分别由应 力强度因子 、 和 决定着其场的强度。 SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂 纹尺寸有关，但是与坐标 无关。在K场 范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF 是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。 线弹性裂尖场特点 v裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅 与角 有关，而与 无关，对于同一
7、种变形模 式，角分布函数是相同的。所以，无论构件 的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场 都是相同的。 n对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是型和型K场的 线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都 是型、型和型问题的线性叠加。 线弹性断裂力学 n用柔度法确定临界应变能释放率 柔度：变形与载荷的比值 总应变能柔度： 应变能释放率： 临界应变能释放率： 工程断裂问题与材料断裂韧性 n材料的断裂韧性 临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量 。是一个材料常数。 n断裂准则： 当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强 度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安 全；反之，裂纹扩
8、展，构件不安全。 关于GK的关系式： n以I型裂纹为例，OA段的两边作用有吸引（ 拉）力，此时OA段的上下边之间没有相对位 移，且有 第二步，设想在长度内，的作用应力缓慢地减小 到零，则相应裂纹扩展了长度，位移， n当第三步，计算能量释放率,由实功原理：平面应 变: K与G之间有简单的换算关系 n平面应力 线弹性断裂力学 n I型裂纹的应力强度因子 II型裂纹的应力强度因子 III型裂纹的应力强度因子 n裂纹尖端的应力奇异性: 当 时，即在裂纹端点，应力分量趋向于无穷大 。应力场具有 的奇异性。原因：裂纹尖端是几何 上的不连续点。 线弹性断裂力学 n应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参
9、 量裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应 力就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构 必定破坏。 n应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理 参量引入。 线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂 纹构件的应力强度因子。 线弹性断裂力学 n计算应力强度因子的方法 解析法：复应力函数法、积分变换法、权函数法、 、 数值法：有限元法、有限体积法、 应力强度因子手册 n应力强度因子的量纲： 线弹性断裂力学 例子 二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子（几何对称 、受力对称、各向同性材料） 线弹性断裂力学 n用柔度法确定临界应变能释放率 柔度：变形与载荷的比值 总应变能柔度： 应变能释放率： 临界
10、应变能释放率： 材料断裂韧性 n材料的断裂韧性 临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料 常数。称为平面应变断裂韧度 n应力强度因子断裂准则： 当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材 料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构 件不安全。 线弹性断裂力学 n材料断裂韧度与使裂纹启裂的拉伸应力之间的关系 ： n使裂纹启裂的拉伸应力与裂纹驱动力（能量释放率 ）之间的关系： n平面应变下应力强度因子和能量释放率之间的关系 ： 线弹性断裂力学 n断裂过程中，释放的能量主要耗散在裂纹尖端附近 材料的塑性流动中。对于特定材料，能量耗散过程 中所需要的应变能释放率被
11、称为临界应变能释放率 ，即 可以得到裂纹启裂所需要的拉伸应力： 线弹性断裂力学 线弹性材料的断裂判据-应力强度因子断裂判据： 条件：塑性区比K场区小得多，而K场区又比裂纹长 度小得多 线弹性断裂力学 权函数法 n应力强度因子与裂纹几何和载荷形式有关 n权函数法解耦了裂纹几何和载荷形式对于应力强度 因子的影响 n由应力强度因子和权函数可积分求解载荷下的位移 场 线弹性断裂力学 计算应力强度因子的叠加原理 n线弹性材料 n小变形 n裂纹面始终张开 n载荷的分解和叠加 线弹性断裂力学 计算应力强度因子的其他方法 n解析法：复活应力函数法、保角变换法、积分变换法、奇异积 分方程法、 n数值法：有限元法、边界元法、有限体积法、 、 n半解析-半数值法：边界配位法 n工程闭合解法 n局部-整体法 n 本讲要点 n特征展开,裂纹尖端场 n应力强度因子断裂准则K准则 nGK关系- K 脆断控制参量
