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1、第二讲:线弹性断裂力学 弹性裂纹尖端场 的特征展开(Williams,1957) 概述 n裂纹可分为三种类型: I型张开型 II型剪切型 III型撕开型(反平面剪切型) n三种裂纹的形式中,I 型裂纹最为常见,在 工程设计和分析中最重要。但在数学分析上 ,III型裂纹比较简单。 主要应力分量 , ; 位移 III 型反平面剪切问题 n复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效 的。 n根据复变函数理论,任何解析函数的实部和 虚部都满足Laplace方程,它们构成共轭的调 和函数。 n如果知道一个调和函数,则可以由柯西黎 曼方程求出与之共轭的调和函数。 III型反平面剪切问题 n可见型裂纹的线弹性裂
2、纹尖端场具有 奇 异性,且与 因子成正比。 n 称为型裂纹的应力强度因子,它是由 外加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。 III型反平面剪切问题 n在有些情况下,有必要考虑应力应变公式中 的第二项,此时应力和位移场变为: 线弹性力学的平面问题和 反平面剪切问题 平面问题的复变函数表示 应力组合与位移组合 型和型裂纹问题 n平面问题 ,应变分量为: n线弹性本构关系为: n平衡方程为: n变形协调方程为: 型和型裂纹问题 n如果应力分量由Airy应力函数 表 示,即: n以上应力函数自动满足平衡方程。但要同时 满足变形协调方程,就必须满足以下双调和 方程: 型和型裂纹问题 n 满足拉普拉斯方程,
3、则类似于反平面问 题,可以将 表示为: n积分得: 为解析函数 和为解析函数 型和型裂纹问题 n易证: 对于平面应力对于平面应变 型和型裂纹问题 n设上述方程的解有以下的形式: n代入裂纹上下表面( )的应力自由边界 条件,可得: C1,C2为待定复常数 为实常数 型和型裂纹问题 n即: n解的一般形式表示为 : n类似于型问题,裂纹前端的应力应变场由 第1项主导,其系数为: 该方程组有非零解得条件是: (当 时,裂尖位移奇异,当 时, 代表刚体位移) 和分别为I、II型应力强度因子 型和型裂纹问题 n型情况下的应力场和位移场表示为: 式中: 型和型裂纹问题 n型情况下的应力和位移场表示为:
4、式中 型和型裂纹问题 n在某些情况下,应力、应变式中的第二项也 对材料的断裂起明显影响,考虑前两项时的 应力场和位移场为: 第二项对应着刚体转动 和均 匀的横向应立场 的叠加效应 在文献中称为T应力,所以 上式中的裂尖场又称为K-T场 线弹性断裂力学 n裂纹的基本类型 I型张开型(opening mode) II型滑开型(sliding mode) III型撕开型(anti-plane shear mode) 张开型 滑开型 撕开型 线弹性断裂力学 n二维I型裂纹的应力强度因子 衡量裂纹尖端区应力场强度的参量 线弹性断裂力学 nII型裂纹尖端附近的 应力场 nIII型裂纹尖端附近的 应力场 线
5、弹性断裂力学 n均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附 近位移场(I-II混合型裂纹): 线弹性断裂力学 nI型裂纹位移垂直于裂纹,呈平面张开型; nII型裂纹位移平行于裂纹,呈平面剪切型; nIII型裂纹反对称于裂纹及其延长线 线弹性裂尖场特点 n三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场,在不考虑展开 式的第二项的情况下得出的场统称K场。 nK场具有以下四个特点: v三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性,即在 裂纹尖端处,应力和应变为无穷大,这种不真实的性质是由于 所采用的本构关系所决定的,即认为材料能承受无限大的应 力,且应变与应力呈线性关系。另外,在上述的分析中,裂纹 假设成
6、理想的尖裂纹,即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上,裂 纹尖端不可避免地会出现塑性区,并且裂纹尖端地曲率是有限 的,但是在塑性区很小的情况下,在围绕裂尖的一个环状区域 内K场是适用的。 线弹性裂尖场特点 vK场内的位移与 成线性比例关系。 v三种情况下的K场有相似的形式,分别由应 力强度因子 、 和 决定着其场的强度。 SIF取决于外加载荷,而且与构件几何、裂 纹尺寸有关,但是与坐标 无关。在K场 范围内,应力和应变均正比于SIF,所以SIF 是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征, 是描述裂尖场强度的参数。 线弹性裂尖场特点 v裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅 与角 有关,而与 无关,对于同一
7、种变形模 式,角分布函数是相同的。所以,无论构件 的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何,裂尖场 都是相同的。 n对于一般的二维平面裂纹情况,裂纹尖端场是型和型K场的 线性叠加。而对于三维裂纹,裂纹前缘任意一点的奇异场,都 是型、型和型问题的线性叠加。 线弹性断裂力学 n用柔度法确定临界应变能释放率 柔度:变形与载荷的比值 总应变能柔度: 应变能释放率: 临界应变能释放率: 工程断裂问题与材料断裂韧性 n材料的断裂韧性 临界应力强度因子,是材料抵抗裂纹能力的度量 。是一个材料常数。 n断裂准则: 当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强 度因子小于材料断裂韧度时,裂纹不扩展,构件安 全;反之,裂纹扩
8、展,构件不安全。 关于GK的关系式: n以I型裂纹为例,OA段的两边作用有吸引( 拉)力,此时OA段的上下边之间没有相对位 移,且有 第二步,设想在长度内,的作用应力缓慢地减小 到零,则相应裂纹扩展了长度,位移, n当第三步,计算能量释放率,由实功原理:平面应 变: K与G之间有简单的换算关系 n平面应力 线弹性断裂力学 n I型裂纹的应力强度因子 II型裂纹的应力强度因子 III型裂纹的应力强度因子 n裂纹尖端的应力奇异性: 当 时,即在裂纹端点,应力分量趋向于无穷大 。应力场具有 的奇异性。原因:裂纹尖端是几何 上的不连续点。 线弹性断裂力学 n应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参
9、 量裂尖场应力具有奇异性,只要存在载荷,应 力就趋于无穷大。依照传统强度理论,含裂纹结构 必定破坏。 n应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理 参量引入。 线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂 纹构件的应力强度因子。 线弹性断裂力学 n计算应力强度因子的方法 解析法:复应力函数法、积分变换法、权函数法、 、 数值法:有限元法、有限体积法、 应力强度因子手册 n应力强度因子的量纲: 线弹性断裂力学 例子 二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子(几何对称 、受力对称、各向同性材料) 线弹性断裂力学 n用柔度法确定临界应变能释放率 柔度:变形与载荷的比值 总应变能柔度: 应变能释放率: 临界
10、应变能释放率: 材料断裂韧性 n材料的断裂韧性 临界应力强度因子,是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料 常数。称为平面应变断裂韧度 n应力强度因子断裂准则: 当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材 料断裂韧度时,裂纹不扩展,构件安全;反之,裂纹扩展,构 件不安全。 线弹性断裂力学 n材料断裂韧度与使裂纹启裂的拉伸应力之间的关系 : n使裂纹启裂的拉伸应力与裂纹驱动力(能量释放率 )之间的关系: n平面应变下应力强度因子和能量释放率之间的关系 : 线弹性断裂力学 n断裂过程中,释放的能量主要耗散在裂纹尖端附近 材料的塑性流动中。对于特定材料,能量耗散过程 中所需要的应变能释放率被
11、称为临界应变能释放率 ,即 可以得到裂纹启裂所需要的拉伸应力: 线弹性断裂力学 线弹性材料的断裂判据-应力强度因子断裂判据: 条件:塑性区比K场区小得多,而K场区又比裂纹长 度小得多 线弹性断裂力学 权函数法 n应力强度因子与裂纹几何和载荷形式有关 n权函数法解耦了裂纹几何和载荷形式对于应力强度 因子的影响 n由应力强度因子和权函数可积分求解载荷下的位移 场 线弹性断裂力学 计算应力强度因子的叠加原理 n线弹性材料 n小变形 n裂纹面始终张开 n载荷的分解和叠加 线弹性断裂力学 计算应力强度因子的其他方法 n解析法:复活应力函数法、保角变换法、积分变换法、奇异积 分方程法、 n数值法:有限元法、边界元法、有限体积法、 、 n半解析-半数值法:边界配位法 n工程闭合解法 n局部-整体法 n 本讲要点 n特征展开,裂纹尖端场 n应力强度因子断裂准则K准则 nGK关系- K 脆断控制参量