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1、第六节 椭圆 基础梳理 1. 椭圆的定义 （1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件: 到两个定点 的距离的和等于常数2a； 2a . (2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性 质 范围 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 轴 长轴 的长为2a 短轴 的长为2b 焦距 离心率 a,b,c的 关系 典例分析 题型一 椭圆的定义及其标准方程 【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别 为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方 程. 分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求
2、解. 方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用 勾股定理求c,然后求b. 解 方法一：设椭圆的标准方程是 (ab0)或 (ab0),两个焦点分别为 ，则由题意知 2a= ,a= . 在方程 中,令x=c,得y= . 在方程 中,令y=c,得x= . 依题意知 . 即椭圆的方程为 或 . 方法二：设椭圆的两个焦点分别为 ,则 由椭圆的定义，知2a= ,即a= . 由 知， 垂直于长轴. 故在Rt 中， , ，于是 . 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程 为 或 . 学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆 的焦点位置
3、时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接 设成 (m0,n0). （2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 举一反三 1. 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、 3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 解析：设所求椭圆的方程为 则由已知条件得 a=4，c=2， =12. 所求椭圆的方程为 题型二椭圆的几何性质 【例2】已知椭圆 (ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从 此椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1 ，向量AB与OM是共线向量. （1）求椭圆的离心率e； （2）设Q是椭圆
4、上任意一点， 分别是左、右焦点，求 的取 值范围. 分析 由AB与OM是共线向量可知ABOM，从而可得关于a、b、c的等量关系 ，进而求得离心率e；若求 的范围，即需求cos 的范围，用 余弦定理即可. 解 （1） （-c,0），则 . ,OM与AB是共线向量， （2) 学后反思 求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画 出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短 轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系. 举一反三 2. 已知 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点， =60. 求椭圆离心率的取值范围. 解析 设椭圆方程为 (ab0)， =
5、m, =n. 在 中，由余弦定理可知， 又 (当且仅当m=n时取等号）， 即e ， e的取值范围是 ,1). 题型三 直线与椭圆的位置关系 【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点 到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线 :y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点）， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的 坐标. 分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后 得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得 到两直线垂
6、直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系 . 解 （1）根据题意设椭圆的标准方程为 (ab0), 由已知得a+c=3,a-c=1,.1 a=2,c=1, =3. 椭圆的标准方程为 .3 (2)设 , y=kx+m， 联立 得 ，5 则由题意,得 ,即 ， ， 即 7 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), ,即 ， ，解得m=-2k或m=- , 且均满足 10 当m=-2k时, 的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾； 当m=- 时, 的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0). 所以直线 过定点，定点坐标为( ,0)12 学后反思 (1)直线方程
7、与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程， 然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵 坐标，通常写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础. 举一反三 3. 若直线 过圆 +4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两 点，且A,B关于点M对称，求直线 的方程. 解析 设A,B的坐标分别为 已知圆的方程为 ,所以圆心M的坐标为（-2，1），从 而可设直线 的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程,得 . 因为A,B关于点M对称， 所以 ,解得k= , 所以直线 的方程为y= (x+2)+1,即8x-9
8、y+25=0(经检验，所求直线方 程符合题意). 题型四 椭圆的实际应用 【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,计 划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的 端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式， 并写出其定义域. 分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y 与x的关系式，从而求出S与x的函数式. 解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图），则半椭 圆方程为 (y0), 解得 (09时， =k+8, =9, ,解得k=4. (2)若焦点在y轴上，即00). 由 消去y得 . 设直线与椭圆相交于
9、 两点， 则 是上述方程的根，且有0， 即 恒成立. 所求椭圆方程为 12. （2010广州模拟）已知椭圆E的两个焦点分别为 （-1，0）、（1 ，0），点C（1, ）在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程； （2）若点P在椭圆E上，且满足 ，求实数t的取值范围. 解析：（1）方法一：依题意，设椭圆E的方程为 (ab 0)，由已知半焦距c=1, =1. 点C（1, ）在椭圆E上，则 . 由、，得 ，椭圆E的方程 . 方法二：依题意，设椭圆E的方程为 (ab0), 点C(1， )在椭圆E上， ，即a=2. 由已知半焦距c=1, . 椭圆E的方程为 . （2）设 ，由 ,得 ,即 . 点P在椭圆E上， . 由得 ，代入，并整理得 . 0 4,04(t-2)4, 2t3.
