第二章 地震作用1-单自由度体系地震作用

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1、1 2 2-1 动力计算概述 一、动力计算的目的、内容和特点 1、静力荷载与动力荷载 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这 类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定 的。 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类 荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度 ，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 3 动力计算的特点、目的和内容 2、动力计算的目的 计算结构的动力反应（动内力，动位移、速度与加速度）。 3、动力计算的内容 研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因

2、素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、 振型和阻尼等等），类似静力学中的I等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。 4 动力计算的特点、目的和内容 4、动力计算的特点 (1)必须考虑惯性力。 (2)内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力，依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。 (3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动 力反应的前提和准备。 5 P(t ) t P t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载 二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为： 3）随机荷载：(非确

3、定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载） 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P t P(t ) t tr P tr P 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） 6 三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 1、集中质量法 (1)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成 有限自由度问题。 m mm梁 m +m梁 I I2I m+m柱 厂房排架水平振 时的计算简图 单自由度体系 7 （2）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。 （3）结构的自由度与是否超静定无关

4、。 2个自由度2个自由度4个自由度 静定结构6次超静定结构 3次超静定结构 8 （4）可用加链杆的方法确定自由度。 9 习题：习题： 1) 1) 平面上的一个质点平面上的一个质点 W=2W=2 2) 2) W=2W=2 弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度 3) 3) 计轴变时计轴变时W=2 W=2 不计轴变时不计轴变时 W=1 W=1 为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。计轴向变形。 4) 4) W=1W=1 5) 5) W=2W=2 自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的不大于质点个数的2 2倍。倍。 6) 6)

5、 W=2W=2 7) 7) W=1W=1 10 习题：习题： 4) 4) W=1W=1 5) 5) W=2W=2 自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的不大于质点个数的2 2倍。倍。 6) 6) W=2W=2 7) 7) W=1W=1 W=1W=1 8) 8) 9) 9) W=13W=13 11 y(x,t) x 无限自由度体系 自由度为自由度为1 1的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系； 自由度大于自由度大于1 1的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系; ; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系

6、。 10） 12 水平振动时的计算体系构架式基础顶板简化成刚性块 (t) v(t) u(t) 实例：实例： 13 2、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 用几条函数曲线来描述体系的振动曲 线就称它是几个自由度体系，其中 是根据边界约束条件选取 的函数，称为形状函数。 ak(t) 称广义座标，为一组待定 参数，其个数即为自由度数，用此法可将 无限自由度体系简化为有限自由度体系。 x y x a1， a2， an y(x,t) 14 四、动力计算的方法 动力平衡法（达朗伯尔原理） m 运动方程 m 设其中 P(t)I(t) 平衡方程 I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反 改写成

7、 15 2-2 单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 静平衡位置 m获得初位移y m获得初速度 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。 16 研究单自由度体系振动的重要性 1、是工程上一些实际结构的简化。 2、 它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基 本概念。 建筑物基础 水塔的水平振动 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼. 17 一、运动微分方程的建立 方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程） 1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的 力，建立平衡方程。 m . . yj .yd 静平衡位置 质量m在任

8、一时刻的位移 y(t)=yj+yd k 力学模型 . yd mm W S(t) I(t) + 重力 W 弹性力 恒与位移反向 惯性力 (a) 其中 kyj=W 及 上式可以简化为 或 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。 18 2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。 . . m 静平衡位置 I(t) 可得与 (b) 相同的方程 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 19 二、自由振动微分方程的解 改写为 其中 它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为： 积分常数C1，C2由初始条件确定 20 m 静平衡位置 I(t) 设 t=0 时 .

9、. （d）式可以写成 由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运 动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成 它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定 振幅 相位角 21 y 0 t y -y T T T y t0 y t 0 A -A 22 三、结构的自振周期和频率 由式及图可见位移方程是一个周期函数。 T y t 0 A -A 周期 工程频率 圆频率 23 计算频率和周期的几种形式 频率和周期的讨论 （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素 无关。干扰力只影响振幅A。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越

10、大（频率小）； 自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改 变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反 之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用 下的动力性能基本一致。 24 例1、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：1）求 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 据此可得：1 2 3= 1 215.1 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率

11、也越大。 由单位杆端位移所引起的杆端力（刚度系数） 补充：等截面直杆的形常数 =1 A=1 EI 3i =1 A=1 EI 4i 2i 补充：等截面直杆的形常数 补充：等截面直杆的载常数 28 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 m l A,E,IE,I 1 E,A 1 II EI1= m h k 例3.计算图示刚架的频率和周期。 由截面平衡 29 四、简谐自由振动的特性 由式 可得，加速度为： 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律 变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值， 而且惯性力的方向与位移的方向一致。 它们的幅值产生于 时，其值分别为： 既然在运动

12、的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样， 于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分 方程转化为代数方程了，使计算得以简化。 惯性力为： 30 例4. 计算体系自振频率(练习题） 。 A BC D EI= l /2 l /2l k BC k . .A1. .A2 解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为： 建立力矩平衡方程 化简后得 31 1 提高：例5.求图示结构的自振圆频率（练习题）。 解法1：求 k=1/h MBA=kh = MBC k l h m I EI B A C 1 h 解法2：求 32 例6.求图示结构的自振频率(练习题）。

13、 l EI m k 1 k11 k11 k 解：求 k 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便。 一端铰结的杆的侧移刚度为： 两端刚结的杆的侧移刚度为： 33 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生 非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些 结论也反应了结构的振动规律，如： 1、阻尼的存在 忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐

14、衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。 2-3 阻尼对振动的影响 关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 34 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述 不同，目前主要有两种阻尼理论： *粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比： *滞变阻尼理论 3、阻尼力的确定

15、：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 35 m S(t) I(t) P(t) y . . k m P(t) P(t) C平衡方程 4、阻尼对自由振动的影响 设解为： 特征方程 特征值 一般解 ( 阻尼比） 令 36 （1）低阻尼情形 ( 1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。 m 受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。 k y(t) y m ky P(t ) m P(t ) P(t )

16、弹性力ky、惯性力 和荷载P(t)之间的平衡方程为: 一、简谐荷载： t m F tDtDqqqqsinsinsin 22 =+- tDy*qsin= m t F yyqsin 2 =+& & tyt m F y* st q q q q sin )1 ( 1 sin )1 ( 22222 - = - = 单自由度体系强迫 振动的微分方程 特解： 2-4 单自由度体系的受迫振动 最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。 特解可写为： 通解可写为： 设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则： 过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在） 按自振频率振动 按荷载频率振动 平稳阶段： 最大动位移（振幅）为： 动力系数： 1 0 2 3 123 q 重要的特性： f当/