《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.1 排列、组合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.1 排列、组合（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一章计数原理 11.1排列、组合 数学(浙江专用) 考点 排列、组合 1.(2017课标全国理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完 成,则不同的安排方式共有 ( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 五年高考 答案 D 本题主要考查排列、组合. 第一步:将4项工作分成3组,共有 种分法. 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有 种分配方法,故共有 =36种安排方式,故选D. 方法总结 分组、分配问题 分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种: 完全均匀分组,每组元素的
2、个数都相等; 部分均匀分组,应注意不要重复; 完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: 相同元素的分配问题,常用“挡板法”; 不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; 有限制条件的分配问题,采用分类法求解. 2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的 老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择 的最短路径.
3、由分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B. 3.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 ( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案 D 奇数的个数为 =72. 4.(2016课标全国,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且 对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 答案 C 当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2
4、,ak中0的个 数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4, a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有 =4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有 = 3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0, 分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有 =3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中 任一个为0均可,有 =2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14
5、个,故选C. 评析 本题是新定义问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,理解“规范01数列”的定义并 分类讨论是解题关键,属难题. 5.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 ( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其 中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2 =48个;同理,以5开头的有3 =72个.于是共有48 +72=120个,故选B. 评析 本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识
6、.考查学生分析问题、解决问题的能力. 6.(2014广东,8,5分)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1| x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为 ( ) A.60 B.90 C.120 D.130 答案 D 设t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为-1或1,其他为0,所以有2 =10 个元素满足t=1;t=2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为-1或1,其他为0,所以有 22=40个元素满足t=2;t =3说明x1,x2,x3
7、,x4,x5中有三个为-1或1,其他为0,所以有 222=80个元素满足t=3,从而,共有10+ 40+80=130个元素满足1t3.故选D. 评析 本题考查了分类、分步计数原理及组合数的综合应用,考查了学生分类讨论的能力.解题 的关键在于对t的可能取值进行分类讨论. 7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出 顺序,则同类节目不相邻的排法种数是 ( ) A.72 B.120 C.144 D.168 答案 B 先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有 =144种,再 剔除小品类节目相邻的情况,共有 =24种,于是符合题意
8、的排法共有144-24=120种. 8.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有 ( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 答案 C 利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图, 它们的棱是原正方体的12条面对角线. 一个正四面体中两条棱成60角的有( -3)对,两个正四面体有( -3)2对.又正方体的面对角线 中平行成对,所以共有( -3)22=48对.故选C. 9.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D 先把三把椅子隔开
9、摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位 置,共有 =24种放法,故选D. 评析 本题主要考查排列组合内容及逻辑思维能力,解决不相邻问题采用插空法. 10.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个 医疗小组.则不同的选法共有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 答案 C 从6名男医生中选出2名有 种选法,从5名女医生中选出1名有 种选法,由分步乘法 计数原理得不同的选法共有 =75种.故选C. 11.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务
10、队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案 660 解析 本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的组 合问题,考查推理运算能力. 从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55. 从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种. 故总共有5512=660种选法. 12.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的 四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案 1 080 解析 本题主要考查计数原理及排列组合的应用. (1)
11、有一个数字是偶数的四位数有 =960个. (2)没有偶数的四位数有 =120个. 故这样的四位数一共有960+120=1 080个. 思路分析 分两种情况:有一个数字是偶数的四位数; 没有偶数的四位数. 13.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4 个人,每人2张,不同的获奖情况有 种(用数字作答). 答案 60 解析 不同的获奖情况可分为以下两类: (1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 =36种获奖情况. (2)有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况. 故不同的获奖情况有36+24=60种.
12、14.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全 班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案 1 560 解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039=1 560条毕业留言. 15.(2016江苏,23,10分)(1)求7 -4 的值; (2)设m,nN*,nm,求证: (m+1) +(m+2) +(m+3) +n +(n+1) =(m+1) . 解析 (1)7 -4 =7 -4 =0. (2)当n=m时,结论显然成立.当nm时, (k+1) = =(m+1) =(m+1) ,k=m+1,m+2,n.
13、又因为 + = , 所以(k+1) =(m+1)( - ),k=m+1,m+2,n. 因此,(m+1) +(m+2) +(m+3) +(n+1) =(m+1) +(m+2) +(m+3) +(n+1) =(m+1) +(m+1)( - )+( - )+( - )=(m+1) . 评析 本题主要考查组合数及其性质等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. 16.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示 一个球都不取、“a”表示取出
14、一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推, 下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球 中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 ( ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 以下为教师用书专用 答案 A 从5个有区别的黑球中取k个的方法数为 ,故可用(1+c)5的展开式中ck的系数表示.所 有的蓝球都取
15、或都不取用1+b5表示.由乘法原理知,符合题意的取法可由(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5) (1+c)5表示. 17.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是 ( ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C lg a-lg b=lg ,从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a,b,共有 =20种结果,其中lg =lg ,lg =lg ,故共可得到不同值的个数为20-2=18.故选C. 18.(2013山东,10,5分)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( ) A.243 B.252 C.261 D.279 答案 B 由分步乘法计数原理知:用0,1,9十个数字组成的三位数(可有重复数字)的个数为9 1010=900,组成无重复数字的三位数的个数为998=648,则组成有重复数字的三位数的个数 为900-648=252,故选B. 19.(2013福建,5,5分)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的 个数为 ( ) A.14 B.13 C.12 D.10 答案 B 当a=0时,关于x的方程为2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求;当a
