《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章平面向量与解三角形 5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本 定理及坐标表示 数学(浙江专用) 考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1.(2017课标全国文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b| 五年高考 答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A. 一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即ab=0,故ab.故选A. 2.(2017北京理,6,5分)设
2、m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn|a|-|b|,B错误.故选B. 评析 本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力. 5.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足 =3 , =2 ,则 = ( ) A.20 B.15 C.9 D.6 答案 C 依题意有 = + = + , = + = - = - ,所以 = = - =9.故选C. 6.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(
3、3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案 B 设a=k1e1+k2e2, A项,(3,2)=(k2,2k2), 无解. B项,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), 解之得 故B中的e1,e2可把a表示出来. 同理,C,D项同A项,无解. 7.(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量 同方向的单位向量为 ( ) A. B. C. D. 答案 A =(3,-4),| |=5. 与 同方向的单位向量为 = ,故选A. 8.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R)
4、,且 =-4,则的值为 . 答案 解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由 =2 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4,解得= . 思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的方 程,从而求得的值. 一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A=60 ,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - =(1, )- (3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5
5、=-4,解得= . 9.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O, + = ,则= . 答案 2 解析 由平行四边形法则,得 + = =2 ,故=2. 以下为教师用书专用 10.(2014课标,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若 = ( + ),则 与 的夹角为 . 答案 90 解析 由 = ( + )可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直 角,所以BAC=90,所以 与 的夹角为90. 11.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC.若 =1 +2 (1,2为实数
6、),则1+2的值为 . 答案 解析 = + = + = + ( - )=- + , =1 +2 ,1=- ,2= ,故1+2= . 考点二 平面向量的基本定理及坐标表示 1.(2017课标全国理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的 圆上.若 = + ,则+的最大值为 ( ) A.3 B. 2 C. D.2 答案 A 本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为圆 心且与BD相切的圆上,可设P . 则 =(0,-1), =(-2,0), = . 又 = + ,
7、 =- sin +1,=- cos +1, +=2- sin - cos =2-sin(+), 其中tan = ,(+)max=3. 2.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= . 答案 -3 解析 本题考查向量平行的条件. a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0,=-3. 3.(2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= . 答案 解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于 = ,即= . 4.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足 =
8、2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= . 答案 ;- 解析 由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图如下: 则有 = ( + ),所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- . 5.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 . 答案 -3 解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得 解得 从而m-n=-3. 6.(2014北京,10,5分)已知向
9、量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|= . 答案 解析 a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|= ,|= . 7.(2014陕西,13,5分)设00,20,由| |=| |,得|1 |=|2 |,即1c=2b,亦即 = ,故选A. 3.(2016浙江高考模拟冲刺(三),8)对于两个不共线的单位向量a,b,结出下列四个命题:(a+b) (a-b);2| |=1,得 + 1,即|a+b|+|a-b|2. 又由 = = ,得|a+b|+|a-b|2 ,故正确.a与b在a+b方向上 的投影都为| |,故正确.m=| |,n=| |,由 + =| |2=
10、1,得m2+n2=1.故正确.故选D. 4.(2017浙江台州质量评估,16)已知不共线的平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(, R),且+=1, = ,则= . 二、填空题 答案 解析 如图,设 =a, =b, =c.因为向量c=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三点共线. 由 = 知,|c|cos=|c|cos,所以OC为AOB的平分线. 因为c=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b), 即 = ,所以= , 易知 = = ,所以= = . 5.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)在平面内,已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,
11、5),若非负实数 x,y,z满足x+y+z=1,则向量p=xa+yb+zc的模的取值范围是 . 答案 , 解析 如图,建立平面直角坐标系xOy, =a, =b, =c, =p,x=1-y-z, =(1-y-z) +y +z , - =y( - )+z( - ),即 =y +z . 点P在ABC内(含边界). 易知原点O到直线AB:2x+y-5=0的距离为|OP|的最小值. | | = . | |的最大值为| |= = . 综上可知,向量p的模的取值范围为 , . 6.(2016浙江镇海中学测试(六),14)在ABC中,点D满足 =4 ,若对任意tR,均有| -t | | |,则cos A的最小
12、值是 . 答案 解析 因为对任意tR,均有| -t | |,所以CDCB,即有 ,所以 = ( -4 )( - )=0,即 -5 +4 =0,所以 +4 =5 ,故 cos A= = = (当且仅当| |=2| |时取等号),所以cos A 的最小值是 . 7.(2016浙江温州一模,14)已知ABC中,| |=1, =2,点P为线段BC上的动点,动点Q满足 = + + ,则 的最小值等于 . 答案 - 解析 因为 =| | |cos ABC=| |cosABC=2,所以点A在直线BC上的投影D在线段 BC的延长线上,且|BC|=|CD|,如图. =( + + ) = + + =-| | |+
13、| | |-| | | =-| |(2-| |)+ -| |(1-| |) =3| |2-3| | =3 - , 所以当| |= ,即P为BC的中点时, 最小,最小值为- . 1.(2017浙江镇海中学模拟卷二,7)已知ABC的外心为O,且满足BAC=60, =x +y (其 中x1),则x+4y的最大值为 ( ) A.2 B. C. D.5 一、选择题 B组 20152017年高考模拟综合题组 答案 A 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.将 =x +y 两边分别同时点乘 和 ,则 解得 所以x+4y= - - 4=2,故选A. 2.(2016浙江五校第一次联考,7)设数列xn
14、的各项都为正数且x1=1.如图,ABC所在平面上的点 Pn(nN*)均满足PnAB与PnAC的面积比为31,若(2xn+1) + = xn+1 ,则x5的值为 ( ) A.31 B.33 C.61 D.63 答案 A 如图所示,设 =(2xn+1) , =- xn+1 .因为(2xn+1) + = xn+1 ,所以 + + =0,所以Pn为AB1C1的重心,所以 = = = xn+1 , 又 = ,所以 xn+1= ,即xn+1=2xn+1,所以xn+1+1=2(xn+1),又x1=1,所以xn+1=2n,故xn=2n -1(nN*),所以x5=31,故选A. 3.(2015浙江名校(杭州二中
15、)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面积为2,M,N分别是AD,BC的中点,点 P为线段MN上的动点,则 + 的最小值是 ( ) A.2 B. C.1 D.2 答案 B 分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立直角坐标系,A为坐标原点,设B(m,0),M(0,n),P(x,n) (m0,n0),则mn=1, =(-x,-n), =(m-x,-n). + =x2-mx+n2+m2= +n2+ m2n2+ m2, 而n2+ m2 mn= ,故当x= ,且n= m,即当m= ,n= ,x= 时, + 取最小值 . 4.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),16)已知向量a, b, |a|=2, |b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(xR),若|c|取最 小值 时,向量m满足(a-m)(c-m)=0,则|m|的取值范围是 . 二、填空题 答案 解析 解法
