《复习空间解析几何内容习题.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复习空间解析几何内容习题.（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一部分 主要内容 第二部分 典型例题 第一章 空间解析几何 第一部分 主要内容 一、向量代数 二、空间解析几何 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量积数量积 向量的积 向量概念 一、向量代数 如果向量 向量的坐标表示为 (一)向量的坐标表示 已知空间两点 则向量 .轴上的投影分别为向量在其中 (二）向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式 设 （三）向量模(长度)的坐标表示 向量方向余弦的坐标表示式 (四)数量积(点积、内积) 数量积的坐标表达式 利用内积求两向量的夹角的公式 其中为与的夹角. 利用内积表示向量的长度 (五)向量积 (叉积、外积) 其中为与的夹角 的方向既垂直于又垂直于 指
2、向符合右手系 . 向量与 的向量积为一个向量, 记为 向量的长度为 ; 向量积的坐标表达式 与平行 直线 曲面曲线 平面 参数方程 旋转曲面 柱面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程一般方程 空间直角坐标系 二、空间解析几何 横轴 纵轴 竖轴 定点 (一)空间直角坐标系 空间的点 有序数组 它们距离为 两点间距离公式 设为空间两点, (二)曲面及其方程 如果曲面与三元方程 有下述关系： (1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 那么，方程就叫做曲面的方程，而 曲面就叫做方程的图形. 坐标满足方程的点都在曲面 上 1. 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平 面上
3、的一条定直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面的轴. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点: )2(方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线 设有平面曲线 )1(方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线 （2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面 2. 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成 这条定曲线叫柱面的准 线，动直线叫柱面的母线. 柱面方程的特征： 只含yx,而缺 的方程 在空间直角坐标系中表示 母线平行于 轴的柱面，其 准线为 平面上曲线 的曲面称为柱面. (1) 圆柱面 (2) 抛物柱面 (3) 椭圆柱面 3. 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲
4、面. （1）椭球面（2）椭圆抛物面 与 同号) （4）单叶双曲面 （6）圆锥面 （5）双叶双曲面 (三)空间曲线 1. 空间曲线的一般方程 2. 空间曲线的参数方程 3. 空间曲线在坐标面上的投影 消去变量 后得： 设空间曲线的一般方程： 曲线在 面上的投影曲线为 面上的投影曲线 面上的投影曲线 (四)平面 1. 平面的点法式方程 2. 平面的一般方程 3. 平面的截距式方程 4.平面的夹角(即它们的法向量的夹角) 5. 两平面位置特征： / (五)空间直线 1. 空间直线的一般方程 3. 空间直线的参数方程 2. 空间直线的对称式方程 直线 直线 两直线的夹角 公式 4. 两直线的夹角 5.
5、 两直线的位置关系： / 6. 直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式: 直线与平面的位置关系 / 二、典型例题 关于平面的对称点为 . 答案 测试点: 关于坐标平面的对称点的坐标的特征. 例1 例2 设向量与的夹角 计算 解 测试点: (1)如何应用内积求向量的长度; (2)内积的性质(与多项式运算类似); (3)内积的定义. 例3 以下各组数不能作为某向量的方向余弦的是 解 根据数组能作为某向量的方向余弦 的充要条件是 答案C 例4 在三维直角坐标系中,方程 表示的图形是 ( ). A.单叶双曲面B.双叶双曲面 C.锥面 D.抛物面 解 从方程容易看出的取值范围是 答案 测试点 根据二次方
6、程判断方程表示的图形 B 例5 求过点的平面方程. 解法1 由平面的点法式方程知所求平面方程为 即 解法2 用一般式方程 设所求平面方程为 将 点的坐标代入得方程组 取解得 于是,所求平面方程为 测试点: (1)平面的点法式方程 (如何根据已知 条件求出平面的法向量) 求平面方程的一般方法: (2)根据平面的一般式方程(设平面方程为: 将已知条件代入确定 系数(注意:有一个自由未知数.) 例6 求过点 且与直线 平行的直线方程. 解 所求直线的方向向量为 用直线的点向式(对称式)方程得所求直线方程为 测试点: (1)根据直线的一般方程求直线的方向向量; (2)写直线的标准式(对称式)方程的方法
7、. 例7 求平面上的曲线绕 轴旋转 所得旋转曲面方程 解 因为绕轴旋转,故所得旋转曲面方程是由曲线方程 中不动,将变成得到.故所求曲面方程为 测试点: 如何求旋转曲面的方程 思考 改为绕其他坐标轴旋转,结果如何?所 得二次曲面的图形怎样? . 解 设动点 例8 一动点与点的距离是它到平面 的 距离的一半，试求该动点轨迹曲面的方程. 为 则 它到平面的距离为 故所求曲面方程为 即 测试点: (1)求两点的距离公式; (2)求一点到平行于坐标平面的平面的距离; (3)求满足某种条件的曲面方程的一般方法. 例9 求直线与平面 的夹角 解 直线的方向向量 又平面的法向量 所以直线与平面的夹角 测试点: (1)由直线的一般方程求其方向向量;扩展到求一个向量 与两个已知向量都垂直. (2)求两个向量的夹角;扩展到求两条直线的夹角,两平 面的夹角,求平面和直线的夹角.
