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1、积分法（一） 牛顿柯特斯（Newton-Cotes）公式 理查森（Richardson）外推法 罗姆伯格（Romberg）积分法 自适应（Adaptive）积分法 高斯（Gauss）积分法 奇异（Singularities）积分 工程中积分运算的不同情况 积分的函数平滑，区间处处有界，且积 分区间的下限有限 区间中某点间断，或至少积分的上限或 下限为无限大，即积分的奇异性 仅给定函数在某些固定点上的值，而值 之间无确定关系，即原函数无法用初等 函数表示 积分公式 在积分区间内各节点上被积函数的加权 代数和 其中 仅是加权系数和节点的某种选择 最简单的方法 用等步长，并选择能给出最好逼近的加权系
2、 数，即通过将积分区间逐次对分，使其能够 逐步改进 更精确的方法 按照提高精度的原则选择节点 任何积分公式，随节点数的逐渐增大， 其值越加逼近精确值 可获得高精度且有效的逼近法 先用具有n个节点的积分公式估算其积分值 再用2n个节点重复运算 比较结果 差值在预定误差范围内，结果满意 否则，节点数加倍，继续重复运算，直至满意 等步长积分公式 步长 区间内具有（n+1）个等步长节点 逼近误差总正比于hm，当h减小或n增大时， 其误差随hm而趋近于零，称为具有第m阶逼 近 可构造一个积分公式，用任一阶次直到m 阶多项式的积分表示 m表示积分公式质量好坏的一种度量 牛顿柯特斯（Newton-Cotes
3、） 公式 最简单而有用的积分公式，选用Lagrange 插值函数在每个等步长区间上积分求值 具体方法 将整个积分区间分成n个子区间，包括两个 端点，共（n+1）个节点 构造n阶Lagrange多项式 积分该多项式 Cotes系数 Cotes系数性质 Cotes系数表 每一次偶数逼近比前于它的奇数次逼近具有 明显改进 奇数次逼近并不比前于它的偶数逼近好 当n1时。为梯形公式（Trapezoid rule） 被积函数为常数时，中点公式（矩形公式） 区间分为n个子区间时，整个区间积分 当n2时。为辛普生公式（Simpson rule） 区间分为n个子区间时，n必为偶数，只能对 偶数子区间进行积分，整
4、个区间积分 举例 1.平滑曲线 精确值 梯形公式计算 多个区间 MATLAB函数 quad 格式：q=quad(fun,a,b),q=quad(fun,a,b,tol), q=quad(fun,a,b,tol,trace)等 例如：q=quad(exp(x),0,1) 辛普生法 quad8 格式：同上 8阶牛顿柯特斯法 理查森（Richardson）外推法 又称延迟趋向极限法 是Romberg积分法的基础 方法： 步长h，逼近函数g(h)，其泰勒级数为 重复运算g(h/2)的其泰勒级数 可运算得到： 显然当h很小时，上述运算较前面计算的 逼近精度将得到很大提高 第n次重复上述运算过程，可得：
5、通常采用预先约定逼近函数g(h)只含偶次 方项，而且积分区间采用对分法划分 罗姆伯格（Romberg）积分法 对牛顿柯特斯（Newton-Cotes）公式的 改进 将牛顿柯特斯（Newton-Cotes）公式和 理查森（Richardson）外推法的结合 基本概念是先用一种相对低精度的积分 公式算出近似结果，然后，再应用理查 森（Richardson）外推法进行改进 选用最简单的梯形公式开始计算，对整 个积分区间求积 将积分区间逐步对分为2、4、8、并 重复求出其值，分别表示为 通过理查森（Richardson）外推法求出改 进的积分值 2阶精度 4阶精度 外推计算可多次连续应用，一般公式为
6、实际计算的顺序为 根据所给节点可计算出最好一项 可与 前项 进行比较，如果差值满足规定的 误差范围，停止计算 Romberg积分过程图 举例 平滑函数积分 MATLAB程序 function R,quad,err,h = romberg( f,a,b,n,tol) % Input - f is the integrand input as a string f % - a and b are upper and lower limits of integration. % - n is the maximum number of rows in the table % - tol is the
7、 tolerance % Output - R is the Romberg table % - quad is the quadrature value % - err is the error estimate % - h is the smallest step size used M=1; h=b-a; err = 1; J=0; R=zeros(4,4); R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2 while(errtol) h=h/2; s=0; for p=1:M x=a+h*(2*p-1); s=s+feval(f,x); end R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s; M=2*M; for K=1:J R(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K)/(4K-1); end err=abs(R(J,J)-R(J+1,K+1); end quad=R(J+1,J+1); function y=f(x) y=4/(1+x2); romberg(f,0,1,3,5e-6)
