《高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (15).》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (15).（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1、38一、多元函数的极值二、条件极值拉格朗日乘数法第八节多元函数的极值三、有界闭区域上函数的最值五、小结四、最小二乘法作业2、38一、多元函数的极值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域为极大值.则称3、38函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.注4、38函数是否存在极值在(00)点取极小值.在(00
2、)点取极大值.(也是最大值).在(00)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数5、382.极值存在的必要条件证.定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值不妨设都有说明一元函数有极大值必有类似地可证6、38推广如果三元函数具有偏导数则它在有极值的必要条件为均称为函数的驻点极值点仿照一元函数凡能使一阶偏导数同时为零的点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如驻点但不是极值点.注7、383.极值存在的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续有一阶及二阶连续偏导数处是否取得极值的条件如下:(1)有极值有极大值有极小值(2)没有极值(3)
3、可能有极值也可能无极值.（用定义判定）8、38求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号再判定是否是极值.具有二阶连续偏导数9、38例1.解.又在点(00)处在点(aa)处故故即的极值.在(00)无极值在(aa)有极大值10、38解.求由方程将方程两边分别对xy求偏导数由函数取极值的必要条件知驻点为将上方程组再分别对xy求偏导数例2.11、38故函数在P有极值.代入原方程为极小值为极大值.所以所以12、38取得.然而如函数在个别点处的偏导数不存在这些点当然不是驻点如:函数都不存在但函数在点(00)处具有极大值.在研究函数的极值时
4、除研究函数的驻点外还应研究偏导数不存在的点.由极值的必要条件知极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(00)处的偏导数注释如函数偏导数存在13、38对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外并无条件极值二、条件极值拉格朗日乘数法14、38解.例3.已知长方体长宽高的和为18问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为.由题意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值体体积最大.故当长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点15、38上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值要受到条件的限制这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件有时条件
5、极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下这样做是有困难的拉格朗日乘数法16、38拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数在约束条件下取得如函数(1)在由条件(1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值那末首先有(3)确定y是x的隐函数不必将它真的解出来则于是函数(1)即在取得所取得极值.求的极值.17、38其中代入(4)得:由一元可导函数取得极值的必要条件知:(4)取得极值.在(3)(5)两式取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的18、38设上述必要条件变为:(6)中的前两式的左边正是函数:(6)的两个一阶偏导数在
6、的值.函数称为拉格朗日函数称为拉格朗日乘子是一个待定常数.19、38拉格朗日乘数法:总结：条件极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点先构造函数为某一常数其中可由解出其中就是可能的极值点的坐标.20、38如何确定所求得的点实际问题中非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点21、38其中最大者即为最大值与一元函数相类似可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有可能的极值点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较三、有界闭区域上函数的最值22、38解.(1)求
7、函数在D内的驻点由于所以函数在D内无极值.(2)求函数在D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例4.D23、38在边界线在边界线由于最小由于又在端点(10)处所以最大.有驻点函数值有单调上升.D24、38在边界线所以最值在端点处.由于函数单调下降(3)比较D25、38解.为简化计算令是曲面上的点它与已知点的距离为问题化为在下求的最小值.目标函数约束条件例5.26、38设(1)(2)(3)(4)27、38由实际问题的意义可知，点到曲面的距离一定存在最小值，故得唯一驻点28、38解.为此作拉格朗日乘函数:上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点在圆上的最大、最小值
8、.例6.29、38最大值为最小值为30、38解.为椭球面上的一点令则的切平面方程为在第一卦限内作椭球面的使切平面与三个坐标面所围成的例7.切平面四面体体积最小求切点坐标.31、38目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为所求四面体的体积约束条件在条件下求V的最小值32、38令由33、38可得即当切点坐标为四面体的体积最小34、38选择题已知函数f(xy)在点(00)的某个邻域内连续则(A)点(00)不是f(xy)的极值点.(B)点(00)是f(xy)的极大值点.(C)点(00)是f(xy)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(00)是否为f(xy)的极值点.例8.3515在工程问题中，常
9、常需要根据两个变量的几组实验数值实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式.问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？3615例9.为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度得到一组试验数据如下：四、最小二乘法3715如图，在坐标纸上画出这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的，使得在处的函数值与实验数据相差都很小解.3815就是要使偏差都很小.因此可以考虑选取常数，使得定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做最小二乘法最小来保证每个偏差的绝对值都很小3915把看成自变量和的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数在哪些点处取得最小值.即4015将括号内各项进行整理合并，并把未知数和分离出来，便得计算得4115代入方程组（1）得解此方程组，得到这样便得到所求经验公式为由（2）式算出的函数值与实测的有一定的偏差.现列表比较如下：4215偏差的平方和，它的平方根我们把称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏43、38多元函数极值的概念条件极值拉格朗日乘数法多元函数取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念五、小结(上述问题均可与一元函数类比)作业
