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1、第三节第三节 多元复合多元复合 函数的求导法则函数的求导法则 高等数学 06-03-01 复合函数复合函数 设设 z z= =f f( (u u, ,v v) )，其中，其中 u u= =u u( (x x, ,y y) )， v v= =v v( (x x, ,y y) )，则称函数，则称函数 z z= =f f u u( (x x, ,y y), ),v v( (x x, ,y y) ) 为为 x x, ,y y 的的复合函数复合函数。 高等数学 06-03-02 高等数学 06-03-03 定理定理 如果函数如果函数 u u= =u u( (x x, ,y y) )，v v= =v v(
2、 (x x, ,y y) )， 在点在点 ( (x x, ,y y) ) 有连续的偏导数，且函数有连续的偏导数，且函数 z=fz=f( (u u, ,v v) ) 在对应点在对应点 ( (u,vu,v) ) 也有连续的偏也有连续的偏 导数，则复合函数导数，则复合函数 z=fz=f u u( (x x, ,y y), ),v v( (x x, ,y y) ) 在点在点 ( (x x, ,y y) ) 有对有对 x x 及对及对 y y 的连续偏导的连续偏导 数，且数，且 x x z z u u v v y y x x y y 高等数学 06-03-04 链法则链法则 求求 z z 对对 x x
3、的偏导数，就看图中从的偏导数，就看图中从 z z 到到 x x 有几条线，沿每条线如同一元有几条线，沿每条线如同一元 复合函数那样求导，然后相加即得，复合函数那样求导，然后相加即得， 此过程称为多元函数的此过程称为多元函数的链法则链法则。 高等数学 06-03-05 x x z z u u v v y y x x y y 例例 已知函数已知函数 z z= =u u 2 2 v v 2 2 ，而，而 u u=2=2x x y y， v v= =x x 2 2y y，求，求 z z 对对 x x 及及 y y 的偏导数。的偏导数。 高等数学 06-03-06 x x z z u u v v y y
4、 x x y y 全微分形式的不变性全微分形式的不变性 无论把函数无论把函数 z z 看作自变量看作自变量 x x、y y 的函数，或看作中间变量的函数，或看作中间变量 u u、v v 的函的函 数，它们的全微分的形式是一样的，数，它们的全微分的形式是一样的， 这叫做多元函数的（一阶）这叫做多元函数的（一阶）全微分形全微分形 式的不变性式的不变性。 高等数学 06-03-07 推广推广 设设 z=fz=f( (u u, ,v v, ,w w) )，而，而 u=uu=u( (x x, ,y y) )， v=vv=v( (x x, ,y y) )，w=ww=w( (x x, ,y y) )，则有，
5、则有 高等数学 06-03-08 高等数学 06-03-09 课堂讨论题课堂讨论题 设函数设函数 ，而，而 ， ，求，求 z z 对对 x x 及及 y y 的偏导数。的偏导数。 x x z z u u v v y y x x y y 全导数全导数 若复合函数的中间变量有多个，若复合函数的中间变量有多个， 但自变量只有一个，此时的导数称为但自变量只有一个，此时的导数称为 全导数全导数。 u u z z v v t t t t 高等数学 06-03-10 如如 z z= =f f( (u u, ,v v) )，而，而 u u= =u u( (t t) )，v v= =v v( (t t) )，则
6、，则 u u z z v v t t t t t t 例例 设设 z z= =uvuv sinsint t，而，而 u u=e=e t t ，v v=cos=cost t， 求函数的全导数。求函数的全导数。 高等数学 06-03-11 高等数学 06-03-12 课堂讨论题课堂讨论题 设函数设函数 ，而，而 ， ，求函数的全，求函数的全 导数。导数。 x x z z y y t t t t 例例 直圆锥的高以直圆锥的高以 10cm/s 10cm/s 的速度递的速度递 减，底半径以减，底半径以 5cm/s 5cm/s 的速度递增，的速度递增， 求当高为求当高为 100cm100cm，底半径为，底
7、半径为 50cm50cm 那一瞬间，圆锥体积的变化率。那一瞬间，圆锥体积的变化率。 高等数学 06-03-13 例例 设设 e e z z xyzxyz=0=0，求，求 z z 对对 x x 及及 y y 的偏的偏 导数。导数。 高等数学 06-03-14 小结小结：多元复合多元复合复合函数复合函数 多元复合函数求导的多元复合函数求导的链法则链法则 全微分形式的不变性全微分形式的不变性 全导数全导数 高等数学 06-03-15 作业作业：P188 P188 习题六习题六 21 23 21 23 2828 高等数学 06-03-16 P188 P188 习题六习题六 2828 设设 e ex+y x+y+ +xyz xyz=e=e z z ，求，求 和和 。
