电容电感电压电流关系.

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1、第七章 电容元件和电感元件 前几章讨论了电阻电路，即由独立电源和电阻、受控 源、理想变压器等电阻元件构成的电路。描述这类电路电 压电流约束关系的电路方程是代数方程。但在实际电路的 分析中，往往还需要采用电容元件和电感元件去建立电路 模型。这些元件的电压电流关系涉及到电压电流对时间的 微分或积分，称为动态元件。含动态元件的电路称为动态 电路，描述动态电路的方程是微分方程。本章先介绍两种 储能元件电容元件和电感元件。再介绍简单动态电路微 分方程的建立。以后两章讨论一阶电路和二阶电路的时域 分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。 常用的几种电容器 71 电容元件 一、 电容元件 集总参数电

2、路中与电场有关的物理过程集中在电容元 件中进行，电容元件是构成各种电容器的电路模型所必需 的一种理想电路元件。 电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻， 其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线所确定，则 称此二端元件为电容元件。 图7-1 (a) 电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号 (b) 电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线 电容元件的符号和特性曲线如图7-1(a)和(b)所示。 其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为 线性电容元件，否则称为非线性电容元件。 图7-1 线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所 示，它的特性曲

3、线是一条通过原点不随时间变化的直线， 其数学表达式为 式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电 容，单位是法拉,用F表示。 图7-1 实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化 很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下， 可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时 ，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。 在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构 成电容器的电路模型，如图7-2所示。 图7-2 电容器的几种电路模型 二、电容元件的电压电流关系 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联 参考方向的情况下，可以得到以下关系式 此式表明电容中的电流与其电

4、压对时间的变化率成正 比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不 同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束 关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随 时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。 在已知电容电压u(t)的条件下，用式(6-2)容易求出其电流 i(t)。例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波 形如图7-3(a)所示，与电压参考方向关联的电容电流为 图7-3 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像 。 例7-1 已知C=0.5F电容上的电压波形如图7-4(a)所示， 试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t)

5、,并画 出波形图。 图74 例71 2.当1st3s时，uC(t)=4-2t，根据式72可以得到 1.当0t1s 时，uC(t)=2t，根据式72可以得到 解：根据图74(a)波形，按照时间分段来进行计算 图74 例71 3.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，根据式72可以得到 4.当5st时，uC(t)=12-2t，根据式72可以得到 图74 例71 根据以上计算结果，画出图74(b)所示的矩形波形。 在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为 其中 称为电容电压的初始值,它是从t=-到t=0时间范围内流过 电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。 式(73)表示t0某时刻电

6、容电压uc(t)等于电容电压的 初始值uc(0)加上t=0到t时刻范围内电容电流在电容上积累电 荷所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电 压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联 如图75所示 。 图75 从上式可以看出电容具有两个基本的性质 (1)电容电压的记忆性。 从式（73）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T) ，要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说 ，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压都有一 定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻 的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。 例72 电路如图76(a)所示，已知电容电流波

7、形如图7 6(b)所示，试求电容电压uC(t)，并画波形图。 图7-6 解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算 1当t0时，iC(t)=0，根据式7-3可以得到 2当0t0的某时刻电感电流iL(t)等于电感电流的初始 值iL(0)加上t=0到t时刻范围内电感电压在电感中所产生电流 之和，就端口特性而言，等效为一个直流电流源iL(0)和一个 初始电流为零的电感的并联，如图715所示。 图715 从式(711)可以看出电感具有两个基本的性质。 (1)电感电流的记忆性。 从式（68）可见，任意时刻T电感电流的数值iL(T)， 要由从-到时刻T 之间的全部电压来确定。 也就是说，此时刻以前

8、在电感上的任何电压对时刻T的 电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅取 决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记 忆元件。 例76电路如图716(a)所示，电感电压波形如图716(b)所 示，试求电感电流i(t),并画波形图。 图716 解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算 1.当t0时，u(t)=0，根据式711可以得到 2.当0t1s时，u(t)=1mV，根据式711可以得到 图716 3.当1st2s时，u(t)=-1mV，根据式711可以得到 4.当2st3s时，u(t)=1mV，根据式711可以得到 5.当3st0时，电感吸收功率；当p0时，电感发出功

9、率。 电感在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为 若电感的初始储能为零，即i(t0)=0,则任意时刻储存在 电感中的能量为 此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流 值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电 感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。 由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为 状态变量。 从式(713)也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变 ，这是因为电感电流的跃变要伴随电感储存能量的跃变， 在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和 电感电流发生跃变的。 四、电感的串联和并联 1. 两个线性电感串联单口网络，就其端口特性而言，等效

10、于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中 列出图718(a)的KVL方程，代入电感的电压电流关系， 得到端口电压电流关系 图718 2. 两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等效 于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中 列出图719(a)单口网络的KCL方程，代入电感的电压 电流关系，得到端口的电压电流关系 图719 由此求得 二端电阻，二端电容和二端电感是三种最基本的电路元件。 它们是用两个电路变量之间的关系来定义的。这些关系从下 图可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是 四个基本电路变量之间的关系 亨利是一个美国物理学家，他发明了电感 和制造了

11、电动机。 他比法拉第先发现电磁感应现象，电感的 单位是用他的名字命名的。 Michael Faraday (17911867) 法拉第是英国化学家和物理学家，1931年 发现的电磁感应定律是工程上的一个主要 突破。 法拉第是一个英国化学家和物理学家，他是一个 最伟大的实验家。 他在1931年发现的电磁感应是工程上的一个重要突 破，电磁感应提供了产生电的一种方法。电磁感应是 电动机和发电机的工作原理。电容的单位(farad)用他 的名字命名是他的荣誉。 名 称时间 名 称时间 1电容的电压电流波形4:162电感的电压电流波形2:41 3回转器变电容为电感2:42 根据教学需要，用鼠标点击名称的方

12、法放映相关录像。 郁金香 73 动态电路的电路方程 含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然 受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约 束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电 路方程是一组微分方程。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。 例78 列出图720所示电路的一阶微分方程。 图7-20 得到 这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。 在上式中代入: 解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程 图7-20 对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程 在上式中代入 ： 得

13、到 这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。 图7-20 例7-9 电路如图721(a)所示，以iL为变量列出电路的微分 方程。 图7-21 解一：列出网孔方程 由式(2)求得 代入式(1)得到 整理 解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电 路，其中 图7-21 图721(b)电路与图720(b)电路完全相同，直接引用 式718可以得到 此方程与式719相同，这是常系数非齐次一阶微分方 程，图(a)是一阶电路。 图7-21 例7-10 电路如图7-22(a)所示，以uC(t)为变量列出电路的微 分方程。 解一：列出网孔方程 图7-22 补充方程 得到以i1(t)和uC

14、(t)为变量的方程 将 i1(t)代入式(1)，得到以下方程 这是以电容电压为变量的一阶微分方程。 从式(2)中写出i1(t)的表达式 图7-22 解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路 代替，得到图(b)所示电路，其中 图722(b)电路与图720(a)相同，直接引用式717可以 所得到与式720相同的的微分方程。 图7-22 例7-11 电路如图7-23所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。 解：以iL(t)和iC(t)为网孔电流，列出网孔方程 图7-23 代入电容的VCR方程 得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程 从式(2)得到 将iL(t)代入式(1)中 经过整

15、理得到以下微分方程 这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路 。 图7-23 L7-11s Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us L 2 1 2 L R 3 2 3 R1 C 4 2 3 C R 5 3 0 R2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 - R1Us U4 (S)= - R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1 R1SCUs+Us I2 (S)= - R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1 * 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 * 名 称时间 名 称时间 1电容的电压电流波形4:162电感的电压电流波形2:41 3回转器变电容为电感2:42 根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。 郁金香 74 电路应用，电路实验和计算机分析电路