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1、证明的再认识 27.1 驶向胜利 的彼岸 直观是把“双刃剑” w直观是重要的,但它有时也会骗 人,你还能找到这样的例子吗? 回顾与思考 a b c d a b a b w定义:对名称和术语的含义加以描述, 作出明确的规定,也就是给出它们的定 义(definition) . w命题:判断一件事情的句子,叫做命题 (statement). w每个命题都由条件(condition)和结论 (conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是 由已事项推断出的事项. w一般地,命题可以写成“如果,那么”的 形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引 出的部分是结论. w正确的命题称为真命题(
2、true statement),不正 确的的命题称为假命题(false statement). w要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例 子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这 种例子称为反例(counter example). w公理:公认的真命题称为公理 (axiom). w证明:除了公理外,其它真命题的正 确性都通过推理的方法证实.推理的 过程称为证明. w定理:经过证明的真命题称为定理 (theorem). w本套教材选用如下命题作为公理 : w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角 相等,那么这两条直线平行; w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角 相等; w3.两边夹
3、角对应相等的两个三角形全等 ; w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等; w5.三边对应相等的两个三角形全等; w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等 平行线的判定 w公理: w同位角相等,两直线平行. w 1=2, ab. w判定定理1: w内错角相等,两直线平行. w 1=2, ab. 几何的三种语言 w判定定理2: w同旁内角互补,两直线平行. w 1+2=1800 , ab. a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 平行线的性质 w公理: w两直线平行,同位角相等. w ab, 1=2. w性质定理1: w两直线平行,内错角相等. w ab, 1=2. 几何
4、的三种语言 w性质定理2: w 两直线平行,同旁内角互补. w ab, 1+2=1800 . a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 三角形内角和定理 w三角形内角和定理 三角形三个内角的 和等于1800. wABC中,A+B+C=1800. wA+B+C=1800的几种变形: wA=1800 (B+C). wB=1800 (A+C). wC=1800 (A+B). wA+B=1800-C. wB+C=1800-A. wA+C=1800-B. 回顾与思考 A BC 关注三角形的外角 w三角形内角和定理的推论: w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和. w
5、推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角. w推论3: 直角三角形的两锐角互余. wABC中: w1=2+3; w12,13. 三种语言 A BCD 1 2 34 学好几何标志是会“证明” w证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); w(2)根据题意,画出图形; w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证 ”; w(4)分析题意,探索证明思路 w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条 理清晰地写出证明过程; w(6)检查表达过程是否正确,完善. 三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和等于180 已知：如图， ABC. 求证：+180
6、 证证明：A BC 1 2 D E 请你先走出“前两步” 你会验证这个定理吗？ 你会把验证的方法用 尺规作图作出来吗？ 你会证明了吗？ A BC 1 2 D E 1(两直线线平行，内错错角相等) 2(两直线线平行，同位角相等) 1+2+180 (平角定义义) +180 (等量代换换) 证明: 作BC的延长 线CD，过点C作射 线CE/AB，则 辅助线（虚线） 需要作辅助线时先作辅助线，所 做的辅助线当已知条件看待；辅助线 的作用主要是移动图形，使条件和结 论产生联系. 议一议： 在证明三角形内角和定理时，小明 的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A 作直线PQ/BC，（如图图）。 他的想法可行
7、吗吗？ A B C Q P 你有没有其他 的证法？ A BC E 图1 E A BC D F 图2 A N BCT S 图3 P Q R M AN BC T S 图4 P Q R M 添加辅助线思路：1、构造平角 2、构造同旁内角 w如图. 1是ABC的一个外角, 1与图 中的其它角有什么关系? w1+4=1800 ;12;13; w1=2+3. w证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理), w 1+4=1800(平角的意义), w 1= 2+3.(等量代换). w 12,13(和大于部分). A BCD 1 2 34 w能证明你的结论吗? w用文字表述为: w三角形的一个外角等于和它不
8、相邻的两个内角的和 . w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . w在这里,我们通过三角形内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个公理或定理直接推出的定理,叫做 这个公理或定理的推论(corollary). w推论可以当作定理使用. w三角形内角和定理的推论: w推论1: 三角形的一个外角 w等于和它不相邻的两个内 w角的和. w推论2: 三角形的一个外角 w大于任何一个和它不相邻的内角. A BCD 1 2 34 w例1 已知:如图,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. w求证:ADBC. w证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和
9、), w ab(内错角相等,两直线平行). w B=C (已知), w DAC=C(等量代换). AD平分 EAC(已知). C= EAC(等式性质). DAC= EAC(角平分线的定义). A C D B E A C D B E 例1 已知:如图,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. 求证:ADBC. B=C (已知), B= EAC(等式性质). AD平分 EAC(已知). DAE= EAC(角平分线的定义). DAE=B(等量代换). ab(同位角相等,两直线平行). 证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), A C D B E 例1 已知:如图
10、,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. 求证:ADBC. DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (三角形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换). ab(同旁内角互补,两直线平行). 证明:由证法1可得: w例2 已知:如图6-14,在ABC中, 1 是它的一个外角, E为边AC上一点,延长 BC到D,连接DE. w求证: 12. w证明: 1是ABC的一个外角(已知), w 13(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). w 3是CDE的一个外角 (外角定义). w 32(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). w 12(不
11、等式的性质). C ABF 1 3 4 5 E D 2 w已知:如图所示,在ABC中,外角 DCA=100,A=45. w求; B和ACB的大小. A BCD w解: DCA是ABC的一个外角(已知), w DCA=100(已知), w B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和). w 又 DCA+BCA=180(平角意义). w ACB=80(等式的性质). w A=45(已知), 你认识 外角吗? w已知:国旗上的正五角星形如图所示. w求:A+B+C+D+E的度数. 解:1是BDF的一个外角(外角的意义), 分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形
12、中,运用三角形内角和定 理来求解. 1=B+D(三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又A+1+2=180(三角形内角和定理). 又 2是EHC的一个外角(外角的意义), A B C D E F 1 H2 A+B+C+D+E =180(等式性质). 你认识 外角吗? w已知:如图所示. w求证:(1)BDCA; w(2) BDC=A+B+C. 证明(1): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外
13、角). BDCA (不等式的性质). DEC是ABE的一个外角 (外角意义), B C A D E 你认识 外角吗? w已知:如图所示. w求证:(1)BDCA; w(2) BDC=A+B+C. 证明(2): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质). DEC是ABE的一个外角 (外角意义), B C A D E 回味无穷 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事 项. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.ABC中 ,A+B+C=1800. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. 关注三角形的外角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. 你准备如何提高证明命题的能力呢? 小结 拓展 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 由“因”导“果”,言必有据. 是初学证明者谨记和遵循的原 则.
