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1、电阻电路静态、即时，激励响应 VCR为代数方程 ，响应仅由激励引起 动态电路动态、过渡过程，激励 响应VCR为微分方程 ，响应与激励的 全部历史有关 5 一阶电路分析 5-1 电容元件和电感元件 5-1-1 电容元件 定义：如果一个二端元件在任一时 刻，其电荷与电压之间的关系由q-u 平面上一条曲线所确定，则称此二 端元件为电容元件。 代表积聚电荷、储存电场能的元件 符号和特性曲线： + u(t) - + q(t) - i(t) 线性电容特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变特性曲线不随时间变化，否 则为时变电容元件。 u q 斜率为C 线性时不变电容的特性 线性非时变电
2、容元件的数学表达式： 系数 C 为常量，为直线的斜率， 称为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法拉,用F表示。 q(t)=Cu(t) 电容元件的电压电流关系 电容的电流与其电压对时间的变化率 成正比。假如电容的电压保持不变， 则电容的电流为零。电容元件相当于 开路(i=0)。 1. 电容是动态元件 2. 电容是惯性元件 当i 有限时，电压变化率 必然有 限；电压只能连续变化而不能跳变 。 3. 电容是记忆元件 电容电压u有“记忆”电流全部历史的 作用。取决于电流 的值。 1. t0 时刻电容的初始电压, 2. 与 t t0 后电流作用的结果。 电压电流参考方向关联时，电容吸收功率 p 可正可负
3、。当 p 0 时，电容 吸收功率（吞），储存电场能量增加； 当p 0 时，w( t )不可能为负值，电 容不可能放出多于它储存的能量，这 说明电容是一种储能元件。 上式也可以理解为什么电容电压 不能轻易跃变，因为电压的跃变要伴 随储能的跃变，在电流有界的情况下 ，是不可能造成电场能发生跃变和电 容电压发生跃变的。 例1 C =4F，其上电压如图(b)，试求 iC(t), pC(t)和 wC(t),并画出波形。 + uC - + uS - iC C uS 1 -1 1 2 3 4 t (b) 解： uS 1 -1 1 2 3 4 t (b) iC 4 -4 1 2 3 4 t pC 4 -4 1
4、 2 3 4 t wC 2 0 1 2 3 4 t 解： 例2 C =2F，电流如图(b)，初始电压v (0)=0.5V, 试求 时电容电压,并画 出波形。 + uC - iS iC C iS 0 1 t (b) 1 uC 0 1 t 1 0.5 5-1-2 电感元件 代表建立磁场、储存磁场能的元件 定义：如果一个二端元件在任一时刻， 其磁链与电流之间的关系由 平面上一条曲线所确定，则称此二端 元件为电感元件。 线性电感特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性；非时变 特性曲线不随时间变化，否则为 时变电感元件。 符号和特性曲线： i 斜率为L 线性非时变电感的特性 + - (t)i(t
5、) L u (t) 线性非时变电感元件的数学表达式： 系数L为常量，直线的斜率，称为 电感，表征产生磁链的能力。 单位是亨利,用H表示。 电感元件的电压电流关系 电感的电压与其电流对时间的变化率 成正比。假如电感的电流保持不变， 则电感的电压为零。电感元件相当于 短路(u=0)。 1. 电感是动态元件 2. 电感是惯性元件 u 有限时，电流变化率 必然有限 ；电流只能连续变化而不能跳变。 3.电感是记忆元件 电感电流i有“记忆”电压全部历史的 作用。取决于电压 的值。 1. t0 时刻电感的初始电流; 2. t t0 后电压作用的结果. 电压电流参考方向关联时，电感吸收功率 p 可正可负。当
6、p 0 时，电感 吸收功率(吞)，储存磁场能量增加； 当p 0 时，w( t )不可能为负值，电 感不可能放出多于它储存的能量，这 说明电感是一种储能元件。 上式也可以理解为什么电感电流 不能轻易跃变，因为电流的跃变要伴 随储能的跃变，在电压有界的情况下 ，是不可能造成磁场能发生跃变和电 感电流发生跃变的。 例3 L=5H，求电感电压u(t),并画出波 形图。 解： 例4 L=5mH，求电感电流。并画出 波形图。 L + uS - + u - i (a) uS/mV 10 -10 0 1 2 3 t (b) 解：当0t1s时，u(t)=10mV， 当1st2s时，u(t)=-10mV， 当2s
7、t3s时，u(t)=10mV， 根据以上结果，可画出电感电流 的波形如图(c) 。 当3st4s时，u(t)=-10mV， u/mV 10 -10 0 1 2 3 t (b) iL 2 0 1 2 3 t (c) 实际使用的电感线圈类型很多，可以 用一个电感或一个电感与电阻的串联作 为电路模型。在工作频率很高时，还需 要增加一个电容来构成线圈的电路模型 。 5-1-3 电容器和电感器的模型 电容器除了标明容量外，还须说明它的 工作电压，电解电容还须标明极性。漏 电很小，工作电压低时，可用一个电容 作为它的电路模型。当漏电不能忽略时 ，需用一个电阻与电容的并联作为电路 模型。工作频率很高时，还需
8、要增加一 个电感来构成它的电路模型 电阻，电容和电感是三种最基本的电路元件。它们是用 两个电路变量之间的关系来定义的：电压和电流间存在 确定关系的元件是电阻元件；电荷和电压间存在确定关 系的元件是电容元件；磁链和电流间存在确定关系的元 件是电感元件。这些关系从下图可以清楚看到。 四个基本变量 间定义的另外 两个关系是 四个基本 电路变量 之间的关 系图 52 换路定则及初始值计算 换路：电路元件连接方 式或参数的突然改变。 + uS - + uC(0) - R C t=0 换路前瞬间 换路后 t=0 t=0+ uC(0 )、iL(0 ) ； uC(0 +)、iL(0 +) 初始状态 ；初始值
9、状态：（某时刻）电容电压和电感电流 (0 +状态)(0 状态) 瞬态分析（动态分析）：分析动态电 路从换路开始直至进入稳态全过程的 电压及电流的变化规律。 分析步骤： 1 依据电路两类约束，以所求响应 为变量，列换路后的微分方程； 2 找所须初始条件，解微分方程。 换路定则(或开闭定理)： 1. 若电容中电流不为无穷大，则电容 电压不会跳变，即: uC(0 +)= uC(0 -)； 2. 若电感中电压不为无穷大，则电感 电流不会跳变，即: iL(0 +) i L(0 -) 。 说 明： 1. 电路中无全电容回路(C-C, uS -C) ， 或 无全电感割集(L-L, iS -L)； 2. 只适
10、合 uC和 iL ,它们是联系换路 前后的唯一纽带，其他变量可能会跳 变； . 实质是电荷守恒，磁链守恒。 元 件 电 容 电 感 数学式 uC(0 +)= uC(0 -) iL(0 +)=i L(0 -) qC(0 +)= qC(0 -) L(0+)= L(0 -) 等效图 t=0- t=0+ + uC(0-)=U0 - C + U0 - 应用条件 iC有限 uL有限 L iL(0-)=I0 I0 初始值的计算： 1. 求换路前初始状态 uC(0 ) 及 iL(0 ); 2. 由换路定则，求uC(0+ ) 及 iL(0+ ) ; 3. 画t=0+时的等效电路电容用电压 等于uC(0+ )的电
11、压源替代；电感用iL(0+ ) 的电流源替代； . 求待求电压和电流的初始值。 例 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+) 解：由于开关闭合已久，由直流电源驱 动的电路中，各电压电流均为不随时间 变化的恒定值，造成电容电流等于零， 电容相当于开路。得t=0等效图 开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情 况下，电容电流为有限值，电容电压不 能跃变，即： + uC(0-) - + US - R1 R2 R3 t=0等效图 例6 开关闭合前电路已稳定,uS = 10V, R1=30, R2=20, R3=40。求开关闭 合时各电压、电流的初始值 . L R1 R2 R3 + vC - C t=0 +
12、 uS - iL 解：(1)求初始状态uC(0 ) 及 iL(0 ) 由于t0时电 路已稳定,电 感看作短路 ，电容看作 开路，作t=0- 等效图 R1 R2 R3 + uC (0-) - t=0-图 + uS - iL(0-) R1 R2 R3 + uC (0+) - t=0+图 + uS - iL(0+) +uL (0+)- +u1 (0+)- i2(0+) iC(0+) i3(0+) (2)由换路定则， ,作t =0+等效图 (3)求初始值 R1 R2 R3 + 4V - t=0+图 + uS - 0.2 A +uL (0+)- +u1 (0+)- i2(0+) iC(0+) i3(0+
13、) 例7 开关打开前电路已稳定, 求初始值 解：(1)求初始状态uC(0 ) 及 iL(0 ) 1H 4 + uC - 0.5F t=0 + 10V - iL 2 4 i1 t0的电容电压 解：在开关闭合瞬间，电容电压不 能跃变，则 连接于电容两端的电阻等效为 因此 假如还要计算电容中的电流iC(t)，则 =R0C=104510-6 =0.05S 开关连接于1端已很久，电感中的电流 等于I0 ，换路后的电路如图(b)。在开关 转换瞬间，由于电感电压有界，电感电 流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 5-3-2 RL电路的零输入响应 列方程: 得到以下微分方程 微分方程的通解为 代
14、元件VCR，得 代入初始条件iL(0+)=I0求得： 最后得到电感电流和电感电压为 其中 =GL=L/R ,具有时间的量纲 ，称它为RL电路的时间常数。 其波形如下图。结果表明，RL电路零 输入响应也是按指数规律衰减，衰减 的快慢取决于常数 。 例11 开关S1连1端已很久，t=0时S1倒 向2端，开关S2也同时闭合。求t0时的 iL(t)和uL(t)。 解：换路瞬间，电感电压有界，电感 电流不能跃变，故 图(b)电路的时间常数为 电感电流和电感电压为 一阶电路零输入响应各电压电流 均从其初始值开始，按照指数规律衰 减到零，一般表达式为 5-3-3 一阶电路零输入响应的一般公式 rzi(t)一
15、阶电路任意需求的零输入 响应 rzi(0+)响应的初始值 时间常数 例12 已知iL(0-)=1.5A,L=0.5H,求 i1(t)和uL(t)。 解：（1）由换 路定则，得： + uL - L iL - 4i1 + i1 5 10 （2）画0+图，求初始值i1(0+)和uL(0+)。 + uL ( 0+ ) - - 4i1 ( 0+ ) + i1 ( 0+ ) 5 10 1.5A 网孔法，得： （3）求时间常数： 先求等效电阻，用 加压求流法 + u - - 4i1 + i1 5 10 i 消去i1得： 所以 （4）初始值和时间常数代入下式 得结果 5-4 一阶电路的零状态响应 零状态响应：
16、初始状态为零，仅 由独立电源(称为外激励或输入) 引起的响应。 这里仅讨论一阶电路在直流激励 下的零状态响应 图示电路中的电容原来未充电，uC(0 -)=0。换路时，由于电容电流有界， 电容电压不会跃变，uC(0+)=uC(0-)=0 5-4-1 RC电路的零状态响应 iC C R + - uC + - US t=0 以电容电压为变量， 列微分方程 这是一个常系数线性非齐次一阶微分 方程。其解由两部分组成，即 iC C R + - uC + - US 换路后如右图 UCh(t)是与齐次微分方程相应的通解 ，其形式与零输入响应相同，即 uCp(t)是非齐次微分方程的特解。一般 来说，它的模式与输入函数相同。对于 直流激励
