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1、伺服系统工程建模方法 概述 几种典型环节的动态特性 控制对象的机理建模方法 时域法建模 频域法建模 相关分析法建模 举例 概 述 数学模型 用数学表示描述的系统各变量之间的相互关系； 建立系统的数学模型是设计的基础； 反映系统的动态性能，改善性能的前提。 建模方法 两种方法：机理建模、实验建模 机理建模：根据物理规律或化学规律列写变量间相互关系。 (基尔霍夫定律、欧姆定律，牛顿定律，热力学定律等) 描述形式: 微分方程、状态方程、传递函数 实验建模：系统施加一试验信号，测量系统的输入和输出数 据，对这些输入、输出数据进行分析和处理，求出一种数学表 示式，也称为系统辨识。 方法：时域法、频域法、
2、相关分析法和参数估计。 几种典型环节的动态特性 工程中几种常用的传递函数 自平衡对象 无自平衡对象 控制对象的机理建模方法 一、非线性模型的线性化 建立数学模型，会遇到某些部件具有非线性特性。 为了方 便分析、设计计算，需要作近似线性化处理。 线性化处理后得到的传递函数与实际系统性能的近似程度 要接近的。 工程上采用的线性化法有切线法、割线法和直接拟合法(最 小二乘法)。 割线法 割线法通常根据系统运行的范围， 在对应的非线性特性上找两点，用通 过这两点的直线来代替。 如右图机械特性，它是非线性的特 性，需要对其特性作近似线性化处理， 就采用了割线法。 切线法 切线法是在其工作点(或称运行点)
3、处作切线，用此切线来近似 代替非线性特性。如果非线性特性可用一方程表示，则在其工作 点处用泰勒级数展开，保留一次项，忽略二次以上的高次项，便 得到一近似的直线方程。 这种线性化办法对经常有稳定运行工作点的系统是合适的。 从机械特性可以看出，低速部分特 性很软，一般不适于低速运行。若系 统经常工作时不人为地进行调速，负 载力矩经常保持在ML附近，则系统输 出转速亦将在n1附近。为此可在运行 点(ML，n1)用切线法近似线性化。 直线拟合法 直线拟合考虑系统运行在一定范围，其工作点不是一个，利 用最小二乘法建立一直线方程，近似拟合非线性特性，以保证在 系统运行范围内拟合的误差平方和(方差)最小。
4、滑差电机控制电压变化，系统运 行在a、b、c、d、e点，是一个区间， 分别作它们的切线，所得的斜率 彼此相差很大，需要用最小二乘法拟 合系数，使得在运行区域内线性近似 的方差最小。 c点为经常工作点（nc、ML）。 ML负载线与另四条机械特性交点： a (ML,nc+n2)、b(M L,nc+n3)、d(M L,nc-n4 )、e(ML,nc-n5) 和 负载线与机械特性交点： a(ML-M, nc+n6)， a(ML+M，nc+n7) b(ML-M, nc+n8)、 b(M L+M，nc+n9) c(ML-M, nc+n10)、 c(M L+M，nc-n11) d(ML-M, nc-n12)
5、、 d(M L+M，nc-n13) e(ML-M, nc-n14) 、e(M L+M，nc-n15) p1234567 点cabdeaa ip02ii-i-2i2i2i np0n2n3-n4-n5n6n7 Mp00000-MM 89101112131415 bbccddee ii00-i-i-2i -2i n8n9n10-n11-n12-n13-n14-n15 -MM-MM-MM-MM 二、控制对象的机理建模 给出了6个机理建模例子 1.带载直流电动机的数学模型 含有减速装置和负载 2.直流力矩电机的传递函数 3.弹簧-质量-阻尼器机械系统 力分析 4.齿轮系的运动方程 传递关系 5. 速度控
6、制系统的微分方程 系统建模，各部分组合 6.利用元件铭牌数据和经验公式近似推导系统的传递函数 在稳态设计计算的基础上，利用所选元部件的技术数据，近似 推导系统的传递函数。 时域法建模 由飞升曲线确定一阶环节的参数 r(t)表示输入到环节的阶跃试验信号，c(t)是环节的阶跃响应， 即飞升曲线。如果飞升曲线在t=0处斜率不为零而为最大值，然 后上升到稳态值c() ，则该环节的数学模型可用一阶惯性环节 来近似。 若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可用 一阶惯性环节与延时环节的组合来近似 。 由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数 若实验飞升曲线是一条S型非周期曲 线，则它的数学模型可用二
7、阶过阻 尼振荡环节或与延时环节的组合来 近似 。需确定 如果满足 由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数 若实验飞升曲线为衰减振荡曲线， 其传递函数可以考虑用二阶环节来 近似，0 1欠阻尼情况。 首先考虑无延迟的情况 频域法建模 通过实验可以测得系统的频率特性。 首先测得系统的脉冲过渡函数,然后用快速离散付里叶变换 (FFT)算法，可间接求得系统的频率特性。 对于简单的情况，可以通过绘制幅相频率特性或对数频率 特性来确定系统的传递函数。 若系统的幅相频率特性近似于半 圆，则相应的传递函数可以用一阶 环节来近似。P()和Q()分别表 示系统的实频和虚频特性，即 G(j)=P(j)+jQ(j) 如果幅相
8、频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可用 二阶环节来近似。 A(k)和(k)是频率为k时的幅频和相频的绝对值 通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统传递函数的 方法比较直观。它适合于一阶或二阶的简单传递函数的辨识. 通用方法: 设已测得系统的频率响应数据为 在频率=k处的拟合误差为 计算拟合的传递函数G(s)，使得如下的误差性能指标极小， 在这个性能指标中，每个频率点的加权系数均为1，也即它对每 个频率点给予同等的看待，因而它是典型的最小二乘问题。 相应于频率点k的加权系数为D(jk)。 式中D(jk)=A1(k)+ jA2(k)为G(j)的分母。 通常情况下，在低频段D(jk)比
9、较小，而在高频段D(jk)比较 大，因此误差性能指标对于高频段将给予较多的重视，而对于低 频段则给予较少的重视。也就是说，按照这个指标函数所拟合的 传递函数在高频段有较高的拟合精度，而低频段则较差。 相关分析法建模 离线与在线辨识 相关分析法既可用于离线辨识，也可用于在线辨识 通过在控制对象的输入端加一个随机信号r(t)，测量输出信号 c(t)，然后通过相关分析求得被测系统的频率特性，进而求得它 的传递函数。 加一低电平随机信号，这个信号对正常的运行不产生影响。 相关分析法另一突出优点是它具有较好抗干扰性能。当测量数 据中包含有随机噪声时，不影响相关分析法计算结果。 一、相关辨识原理及方法 设
10、r(t)为平稳随机过程，则c(t) 也为平稳随机过程，同时设r(t) 和c(t)具有各态历经的性质，则r(t)的自相关函数可以表示为 r(t)和c(t)的互相关函数可以表示为 根据卷积定理，c(t)和r(t)之间满足如下关系 平稳随机过程的自相关谱密度函数是实数。互相关谱密度函 数一般来说则是复数。 相关分析法抗干扰能力强。 例如，设系统输出端存在测量噪声，并设n(t)与r(t)不相关。 根据所测得的数据r(t)和 (t)可以计算出它们的互相关函数为 二、通过相关函数的计算进行辨识 求被测系统的频率特性，需要计算输入随机信号r(t) 的自相关功率谱密度函数Sr(j)及r(t)与c(t) 互相关
11、功率 谱密度函数Src(j)。 Sr(j)和Src(j) 相关函数Rr()和Rrc()经付里叶变 换而得。 利用相关分析辨识系统模型计算包括以下三部分： (1)根据输入和输出的随机数据，计算自相关函数 Rr()和互相关函数Rrc()； (2)对Rr()和Rrc()进行付里叶变换求得Sr(j)和 Src(j)； (3) 频率特性G(j)=Src(j)/Sr(j)得传递函数G(s)。 介绍一种更加简单的方法： 直接对原始数据进行付里叶变换，从而获得相应的功率谱 密度函数。省去了求相关函数。 设r(t)和c(t) 为被测系统的输入和输出平稳随机过程，定义 R(,T)和C(,T)分别为随机过程r(t)和c(t)在有限区间T上的付 里叶变换。且r(t)和c(t)的自相关和互相关功率谱密度函数满足 如下关系: 按照该方法，利用计算机进行计算时的几点说明： (1) 要求取T时的极限，实际计算时只能取T为 一个比较大的有限值； (2)实际计算时用离散付里叶变换来代替式连续付里 叶变换； (3) 求取 的数学期 望，实际计算时只能取它们的一个实现或再乘以一个 窗函数。 知识回顾知识回顾 Knowledge Knowledge ReviewReview
