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1、高数总复习 复 习 课 高数总复习 一、相关概念 数列极限 函数极限 左极限 右极限 1、极限的定义 (1)函数 在 点的某一邻域内有定义; (3)其极限值等于 点的函数值,即 (2)函数 的极限存在,即 存在; 定义 称函数 在点 处是连续的，如果满足: 2、连续与间断 高数总复习 (1)当与均存在，但不相等时，称 为的跳跃间断点； ，则称 为(3)当的无穷间断点. (间断点的分类) (2)当 存在，但不等于在 处的函数值时， 的可去间断点 为 高数总复习 3、导数的定义 函数(x)在点 x0处的可导的充要条件是 高数总复习 无穷小量 无穷大量 极限为零的变量定义： 主要性质 ： 有界量与无
2、穷小量的乘积还是无穷小量. 无穷小量的阶 等价无穷小量 绝对值可以无限增大的变量定义： 主要性质 ： 有界量与无穷大量的和还是无穷大量. 倒数关系 极限的计算类型 高数总复习 极限的计算类型 类型一： 有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量. 类型二： 利用无穷小量与无穷大量的倒数关系计算 类型三：用极限的四则运算求极限 高数总复习 高数总复习 类型四：利用重要极限 重要极限之一： 1. 当 是无穷小量时，有如下公式： 重要极限之二 ： 2. 或 高数总复习 常见等价无穷小量归纳如下： 当 时， 类型五：利用等价无穷小量代换求极限 高数总复习 类型六：利用洛必达法则 洛必达法则 高数总复习 求下列
3、极限： （1）（2） （3）（4） （5）（6） （7） （8） 高数总复习 导数的计算类型 复合函数的求导的链式法则 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算 对数求导法隐函数的求导法 微分运算 高数总复习 中值定理与导数的应用 内容提要： 1 微分中值定理。 2 中值定理的应用：洛必达法则 3 导数的应用：函数的单调性、极值、最值、 曲线的凹凸性及拐点、 曲线的渐近线，函数的作图 高数总复习 定理：定理： 在在 上连续，在上连续，在 上可导，则上可导，则 函数单调性判定定理 高数总复习 二、函数的极值及其判定 1、函数的极值定义 2、函数的可导极值点的费马引理 -可导极值点的导数为零 3、驻
4、点 -导数为零的点。 高数总复习 定理1 （极值判别法） 设函数 在点 的某邻域内连续且可导（ 或 不存在），若当 由小变大经过 点时， （1） 由正变负，则 是函数的极大值点； （2） 由负变正，则 是函数的极小值点； （3） 不变号，则 不是函数的极值点 高数总复习 和和2) 2) 求求 不存在的点不存在的点 3)3) 的极值的步骤的极值的步骤: : 4 4 求求 4) 4) 求出各极值点的函数值，即函数的极值求出各极值点的函数值，即函数的极值 1) 1) 求出定义区间求出定义区间 高数总复习 定理2 （极值判别法） 设函数 在点 处有二阶导数，且 ，如果 （1） ,则函数 在点 处取得极
5、大值； （2） ,则函数 在点 处取得极小值； （3） ,则用该定理不能判断 高数总复习 定理 设函数 在区间 内存在 二阶导数， 若 （1）在 内，恒有 ，则曲线 在 内是凹的; （2）在 内，恒有 ，则曲线 在 内是凸的. 曲线凹凸性的判定 高数总复习 曲线的拐点一一曲线上凹与凸的分界点 拐点定义及判定 判定: 若曲线 但在 两侧异号, 则点是曲线 的一个拐点. 求凹凸区间与拐点的步骤: 1 1）求出）求出的点和的点和不存在的点不存在的点 每个区间上每个区间上判断判断 的符号从而判断凹凸性的符号从而判断凹凸性. .拐点拐点. . 2 2）以）以为分界点把定义域划分成几个区间为分界点把定义域划分成几个区间 , ,
