自动控制原理课件 第七章 非线性系统分析讲解

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1、 第七章 非线性系统分析 1 7-1 非线性问题概述 主要内容 7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响 7-3 相平面法基础 7-4 非线性系统相轨迹分析 7-5 描述函数 7-6 用描述函数分析非线性系统 返回主目录 2 基 本 要 求 1.明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系 统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。 2.熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦 点、节点、中心、鞍点、极限环等概念。 3.熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨 迹大致画出时间响应曲线的图形。 4.对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析 表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。 返回子目录 3 5.

2、对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分 区域相轨迹的方程式。 6.对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选 取相坐标作出相轨迹图。 7.正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。 8.了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线 性特性负倒描述函数曲线的特点。 9.熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运 动, 判断周期运动的稳定性。 4 简 介 非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述 的系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性 系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。 本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函 数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的 一些区别于线性系统的现

3、象。 5 7-1 非线性问题概述 一、实际系统中的非线性因素 图7-1 一些常见的非线性特性 返回子目录 6 除上述实际系统中部件的不可避免的非线性 因素外，有时为了改善系统的性能或者简化 系统的结构，人们还常常在系统中引入非线 性部件或者更复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件 ，最简单和最普遍的就是继电器。 7 图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性 8 二.非线性系统和线性系统有不同的 运动规律 在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系。 对于非线性系统，不存在系

4、统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。 9 线性系统自由运动的形式与系统的初 始偏移无关。 非线性系统则不一样，自由运动的时 间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。 图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动 10 n线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在 临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的 。 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有 可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图7 5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通 常把它称为自激振荡，

5、简称自振。 图7-5 非线性系统 的自激振荡 11 n线性系统中，当输入量是正弦信号时 ，输出稳态分量也是同频率的正弦函数 ，可以引入频率特性的概念并用它来表 示系统固有的动态特性。 非线性系统在正弦作用下的输出比较 复杂。 12 三.非线性系统的分析方法 在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、 脉冲过渡函数等概念。 在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统 ，或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化 的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正 。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非 线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进 行研究。 13 7-2 常见非线性因

6、素对系统 运动特性的影响 一、不灵敏区 不灵敏区又叫 死区，系统中 的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。 图7-6 死区特性 返回子目录 14 死区非线性特性的数学表达式如下： 式中 15 图7-7 包含死区的非线性系 统 图7-8 斜坡输入时 的系统输出量 16 二、饱和 图7-9 部件的饱和现象 饱和特性也是系统中最常见的一种 非线性特性。 17 理想化后的饱和特性典型数学表达式为： 式中： 是线性范围， K为线性范围内的传递系 数（对于放大元件，也称增益）。 18 粗略地看，饱和特性的存在相当于 大信号作用时，增益下降。 图7-10 饱和特性 图7-11

7、 饱和特性的等效增益 19 图7-13 图7-12系统的响应 随动系统的方块图如图712所示。 当系统输入端加上一个幅 值较大的阶跃信号时，若 放大器无饱和限制，系统 的时间响应曲线如图7-13 中的曲线1；放大器有饱 和限制时的时间响应曲线 如图7-13中的曲线2。 图7-12 非线性系 统 20 若随动系统的方块图如图715所示。 图7-14 根轨迹图 图7-15 非线性系 统 根轨迹分析： 21 图7-16系统的时间响应 当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发 散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的 曲线2。 22 三、间隙

8、图717 齿轮传动中的间 隙 传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。 23 间隙特性的典型 特性如图7-18所示 。 数学表达式为图718 间隙非线性特性 24 间隙对系统性能的影响也很复杂，一 般说来，它会增大系统的静差，使系 统波形失真，过渡过程的振荡加剧。 图7-19 间隙特性的输入-输出波形 25 四、摩擦 图7-20 直流电动机的方框 图 摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个 很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看， 相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统 的静差，这一点和死区的影响相类似。 图7-21 摩擦力矩示意图 26 图

9、7-22 小功率随动系统方框图 图7-23 低速爬行现象 27 7-3 相平面法基础 相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方 法。 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描 述 令 , （7-9） 则 （7-11） 返回子目录 28 相平面: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫 相轨迹。 通常把方程（79）称为相轨迹微分方程 式，简称 相轨迹方程。 将式（711）的 积分结果称为 相轨迹表达式。 相轨迹: 把具有直角坐标 的平面叫做相平面 。 29 一、线性系统的相轨迹 设系统的微分方程为 （7-12） 式（7-12）的特征方程为 上述特征方程的根为 n式（7-12）所表示的自由运动，其性 质

10、由特征方程根的分布特点所决定。 30 取相坐标 、 ，式（7-12）可化为 （7-14） 或 31 （1）无阻尼运动 由方程（7-14），相轨迹方程为： 其中 相轨迹如图724所示，在相平面上是为一族同心 的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。 （7-16） 32 图7-24 系统无阻尼运动时的相轨 迹 n相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示 。 n相轨迹垂直穿过 横轴。 n坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。 图7-24的奇点(0,0) 通常称为 中心 33 （2）欠阻尼运动 其中 （7-17） 方程（7-12）的解为 34 相轨迹如图725所 示。从图

11、中可以看出 ，欠阻尼系统不管初 始状态如何，它经过 衰减振荡，最后趋向 于平衡状态。坐标原 点是一个奇点，它附 近的相轨迹是收敛于 它的对数螺旋线，这 种奇点称为 稳定的焦点。 图7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹 35 （3）过阻尼运动 这时方程（712）的解为 相轨迹如图726所示 。 36 图7-26 过阻尼时的相轨迹 图7-27 过阻尼运动的时间响应 坐标原点是一个奇点， 这种奇点称为 稳定的节点。 37 （4）负阻尼运动 相轨迹图如图728所 示，此时相轨迹仍是 对数螺旋线，但相轨 迹的运动方向与图7 25不同，随着 t 的增 长，运动过程是振荡 发散的。这种奇点称 为 不稳定的焦点

12、 。 图7-28 38 系统的相轨迹图 如图7-29所示， 奇点称为 不稳定的节点 。 图7-29 39 此时相轨迹如图 7-30所示。奇点称 为 鞍点 该奇点是不稳定的 。 图7-30 斥力系统的相轨迹 40 图7-31 特征根和奇点的对应关系 41 二、相轨迹作图法 设系统微分方程为 化为 表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线 上的点时所取的斜率都是 。 这条曲线就称为 等倾线倾线。 令 其中 为某个常数 1.等倾线法 42 例子 微分方程 或 等倾线是直线，它的方程为： 43 取不同值时，可 在相平面上画出若 干不同的等倾线， 在每条等倾线上画 出表示该等倾线斜 率值的小线段，这 些小

13、线段表示相轨 迹通过等倾线时的 方向，从相轨迹的 起点按顺序将各小 线段连接起来，就 得到了所求的相轨 迹 。 图7-32 44 极限环 在图7-33中，出现了 一种孤立的简单的封 闭相轨迹。这种相轨 迹称为稳定的极限环 。 图7-33 45 图7-34 各种类型的极限环 46 三、由相平面图求时间解 相轨迹上坐标 点移动到 点所需 的时间，可按下式计算 （7-32） 这个积分可用通常近似计算积分的方法求出， 因此求时间解的过程是近似计算的过程。 47 1.用 曲线计算时间 利用式（737）计 算时间，在某些情 况下可直接进行积 分运算 。 图7-37 48 2.用小圆弧逼近相轨迹计算时间 在

14、小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆 心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。 轴上的P、Q、R点为圆心，以如图736AD段，可用 、为半径的小圆弧来逼近， 这样就有 49 代入式（7-32）得 令 （7-33） 50 图7-36用小圆弧逼近相轨迹计算时间 51 例7-2 图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知 和 均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。 图7-37 52 解： 相轨迹 和 对应的周期运动，它们的周期分别为 和 s， 则有 53 7-4 非线性系统相轨迹分析 根据系统结构形式选取相坐标，列写微 分方程。 画相轨迹图。 根据相轨迹图分析系统的运动情况。 返回子目录

15、54 一、继电型系统 系统中有一个或几个元件具有继电型非线性 特性的系统称为继电型系统。 图7-38 继电型非线性特性 55 若继电型系统的方框图如图741所示。 研究图中继电型特性为图7-38(b) 的情况。 图7-41 56 很明显，相平面以直线 为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定。 57 1 .在 ch的区域 系统方程为 其中 58 所以 当 59 2. 在|c|h区域 系统方程为 （7-42） 60 3 .在c-h区域 相轨迹方程为 当 时 61 图7-40 图7-39系统当 时的相轨迹 62 当m=-1时，系统微分方程为 对这个系统而言，

16、不论初始条件如何，系统最终都 是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于 系统的参数，而和初始条件的大小无关。 63 图7-41 图7-39系统当m=-1时的相轨迹 64 图7-42 振荡趋势加大示意图 65 图7-43 m逐渐减少时的相平面 66 二、速度反馈对继电型系统自由 运动的影响 图7-44 有速度反馈的继电型系统 67 系统的微分方程为 将此相轨迹图与图740比较可看出两者主要 是开关线不同。 可以通过改变开关线的位置来改善系统的性 能。 68 图745 速度反馈对系统运动过程的影响 69 三、含有间隙非线性的系统 图7-46 间隙非线性和非线性控制系 统 70 方程式： 71 式中 相轨迹方程 （7-54） （7-55） 72 图7-4