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1、33 系统稳定性分析 本节主要内容： q线性定常系统稳定的概念 q系统稳定的条件和稳定性的判定方法。 0 i s 0 = i s t 0 )(tc i A *特征根的性质对系统稳定性的影响 当si为实根时，即sii， 当si为共轭复根时 如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的 周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态 属于不稳定。 三.稳定性判据 1.赫尔维茨（Hurwitz)判据 系统稳定的充分必要条件是：特征方程的 各项系数均为正，且赫尔
2、维茨行列式Dk（ k1,2,3,，n）全部大于0。 赫尔维茨稳定判据 系统特征方程的一般形式为： 各阶赫尔维茨行列式为： 例1： 系统的特征方程为： 试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。 解： 第一步：由特征方程得到各项系数 第二步：计算各阶赫尔维茨行列式 结论： 系统不稳定。 10 2.林纳德奇帕特（Lienard-Chipard)判据 系统稳定的充分必要条件为： 系统特征方程的各项系数大于零，即 .奇数或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即 或 必要条件 例2 单位负反馈系统的开环传递函数为： 试求开环增益的稳定域。 解：第一步：求系统的闭环特征方程 第二步：列出特征方程的各项系数。 第三步：系
3、统稳定的充分必要条件。 解得： 的稳定域为： 由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判 据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳 定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域 ）。 若系统的特征方程为： 则劳思表中各项系数如下图： 3.劳斯(Routh)判据 系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第 一列所有元素的计算值均大于零。 如果第一列中出现一个小于零的值， 系统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系 统处于临界稳定状态； 第一列数据符号改变的次数等于系统 特征方程正实部根的数目，即系统中 不稳定根的个数。 例3 设系统特征方程如下： 试用劳斯判据判断该系统的稳定性 ，并确定正实部
4、根的数目。 解：将特征方程系数列成劳斯表 结论：系统不稳定；系统特征方程有两个 正实部的根。 例4 设系统的特征方程为： 试用劳斯判据确定正实部根的个数。 解：将特征方程系数列成劳斯表 由表可见，第二行中的第一项为零，所以 第三行的第一项出现无穷大，为避免这种 情况，需采用特殊处理方法。 4.劳斯稳定判据的特殊情况(1) 在劳斯表的某一行中，第一项为零。 劳斯表某一行第一项系数为零，而其余 系数不全为零的情况，可以用因子(s+a)乘 以原特征式，其中a为任意正数。 得到新的特征方程为： 将特征方程系数列成新劳斯表： 结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。 例5 设系统的特征方程为：
5、 试用劳斯判据判稳。 解：将特征方程系数列成劳斯表 劳思表中出现全零行，需要找到另一种新的解 决方法。 用 行的系数构造系列辅助方程 求导得： 用上述方程的系数代替原表中全零行 ，然后按规则计算下去，得到 2 s -1.5 -4 1 s -16.7 0 0 s -4 6 5 4 3 1 -2 -7 -4 s 1 -3 -4 s 1 -3 -4 s 4 -6 0 s 求解辅助方程，可知产生全零行的根为 结论：不稳定，有一个正实部根。 劳斯表某一行系数全为零，表明特征方程 具有一些大小相等而符号相反的根。这时可将 全零行的上面一行的各项组成一个方程式，称 为辅助方程式，用辅助方程式各项对s求导所
6、得的系数代替全零行的各项，则可继续计算劳 斯表。特征方程大小相等符号相反的根可由求 解辅助方程得到。 劳斯稳定判据的特殊情况(2) 例6 系统的特征方程为： 该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。 解：劳斯表如下 行全为零。由前一行系数构成辅助方 程得： 其导数为： 将 4,48 或 1,12 代替 行，可继续排列劳斯表如下： 因为 行全为零，所以特征方程必有 特殊的根。求解如下： 有特征根为共轭虚数，所以系统不 稳定 设剩余的一个根为p 比较系数得：p= -2 极点分布如下： 注意： 劳斯判据实际上只能判断代 数方程的根是在s平面左半平 面还是在右半平面，位于虚 轴上的根要用辅助方程
7、求出 。 若代数方程有对称于实轴的 实根或共轭复根，则一定在 劳斯表的第一列有特殊体现 ，并可由辅助方程求出。 5.相对稳定性 缺点： 只能确定绝对稳定性 不能用于分析动态响应 改进： 作s=-a的垂线，若系统的极点都在 该线的左边，则称具有a的稳定裕度。 一般a越大，稳定程度越高。可用 s1=s+a代入特征方程，得到以s1为变量 的新的特征方程，用劳斯-赫尔维茨判据 进行判稳。 例7 控制系统如图所示。用劳斯稳定判据确定使 系统稳定的开环增益K的取值范围。如果要求闭环 系统的极点全部位于 线之左，求K值范围。 C(s)R(s) - 解：写出闭环特征方程 列劳斯表 应用劳斯稳定判据 当K=14
8、时，系统处于临界稳定状态。 如果要求闭环系统的极点全部位于s=-1垂 线之左，可将 代入原特征方程 整理得 新劳斯表 根据劳斯稳定判据得 当K在上述范围内取值时，可保证在s左平 面上，闭环三个极点全部位于距虚轴距离为1 的区域。 - 连杆和放大器 的传递函数 执行电机的 传递函数 进水阀门的 传递函数 控制对象水池 的传递函数 例8 液位控 制系统 - 系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论 怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。 四.结构不稳定及改进措施 某些系统，仅仅靠调整参数仍无法 稳定，称结构不稳定系统。 消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质 引入比例微分控制，补上特征方程中的 缺项。 1. 改变积分性质 用反馈 包围积分环节或者包围电动 机的传递函数，破坏其积分性质。 2.引入比例微分控制 在原系统的前向通路中引入比例微分控制。 3-12（1） 3-13（1） 作业（10）
