常微分方程模型.

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1、常微分方程模型简介 1 目 录 1.人口模型 (人口增长和人口控制模型) 2.作战模型 3.火箭发射模型 2 1. 人口增长模型 人口问题是当今世界人们最关心的问题之一 ,从我们建国以来的历史和当前的现实已经证明. 这个问题也是我们国家必须认真思考和慎重对待 的重大问题.过去曾认为人多好办事,对呼吁人口 增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果造 成人口超过13亿,背上了沉重的包袱.因此要实现 四个现代化,应有效地控制人口增长,就必须制定 正确的人口政策,为此就要建立人口增长的数学 模型,用以描述人口增长过程,通过分析对人口增 长进行预测,制定相应的人口政策以控制人口增 长. 3 影响人口增长

2、的因素很多,人口的多少,出生率 的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况, 工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害 ,战争,人口迁移等等. 如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我 们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素增 长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立 一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考 虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合 的数学模型. 4 初看起来人口增长是按整数变化的,不是时间 的可微函数,是不能用微分方程来描述的.但是若 人口总数很大时,可以近似认为它是时间的连续函 数,甚至是可微的函数.所以人口增长可以用微分 方程来描述. (这种

3、假设,认识是建立模型的基础) 5 设 , 表示t时刻人口总数和增长率, 只考虑增长率,其它因素的影响不考虑. 则在t至t+ 这段时间内人口总数增长为 两端同除以 ,并令 ,得 我们将逐步深入讨论上面这个模型 6 一.马尔萨斯(malthus)模型(指数增长模型) 英国人口学家马尔萨斯(17661834)根据百余 年的人口统计资料,于1798年提出了著名的人口指数 增长模型. 基本假设 人口增长率是常数, 或者说,单位时间内人口的增长量与当时人口成正比. 在（1）式中令 =r(常数) 得 其解: (3) 7 (2)式是一个线性方程,称为马尔萨斯人口模型,人 口以 为公比,按几何级数增加. 据统计

4、,1961年世界人口总数为3.06 , 而在 此之前的十来年间人口按每年2%的速率增长.因此 公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世 界估计人口总数, 8 但当t=2510年, = (2万亿), t=2635年, = (18万亿), t=2670年, = (36万亿), 显然,这些数字说明马尔萨斯人口模型对长期的 预测是不正确的. 由上可以看出,马尔萨斯人口增长模型对1700- 1961年的人口总数是对的,但对未来的人口总数预 测不正确,应予以修正. 二、logistic模型(阻滞增长模型) 由上面分析,马尔萨斯人口模型对1700-1961年 间人口总数的检验是对的,而未来的人

5、口总数预测 又是错的,原因何在? 9 产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加, 自然资源,环境条件等因素对人口继续增长的阻滞 作用越来越显著.如果当人口较少时(相对于资源而 言),人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增 加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加 而逐渐减少,许多国家人口增长的实际情况完全证 实了这一点. 看来为了使人口预报,特别是长期预报更好地符 合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率 是常数这个基本假设. 10 荷兰生物学家Verhulst引入常数 ,用来表示 自然资源和环境条件所允许的最大人口,并假定人 口增长率 即人口增长率随着 的增加而减少,当 时，人

6、口增长率趋于零 其中： 是根据人口统计数据或经验确定的常数; 因子 体现了对人口增长的阻滞作用. 由此得：Logistic模型 11 解之得： 根据(6),(7)两式可画出 和 曲线 图如图1-a及图1-b： 图1-a 图1-b 12 如图1-a, 是一条抛物线， 他表示人口增长率 随着人口数量 的增加而先增后减，在 处达到 最大值。 如图1-b， 是一条 型 曲线 ，拐点在 处，当 时， 本世纪初人们曾用这个模型预报美国人口，与实 际数据比较，直到1930年计算结果都相吻合，后来的 误差越来越大，一个明显原因是到1960年美国实际人 口已突破了过去确定最大人口 。 13 这个模型改进了Msl

7、thus模型，但不易准确得 到 ，事实上，随着生产力的发展和人们认识能 力的改变， 也是可以改变的。 关于人口模型这方面的内容是很丰富的，我国学 者为了解决我国人口迅速增长的问题，作了大量的 调查研究，建立了不少的人口模型，为我国政府指 定相应的人口政策提供依据。 下面仅给一个我国的人口控制离散模型： 14 三、人口控制模型： 在前面讨论的两个模型中，我们只关心人口总 数，不考虑人口的年龄分布。事实上在研究人口问 题时，按年龄分布的人口结构情况是非常重要的。 两个国家或地区，目前人口的总数一样，如果其中 之一的年轻人比例高于另一个，那么二者的人口发 展状况将很不一样。下面将考虑人口年龄，不同年

8、 龄的生育率及死亡率等因素来建立人口离散模型， 用以预测及控制人口增长及人口老化问题。 人口发展方程： 时间以年为单位，年龄按周岁计算， 设最大年龄为m岁， 15 记 为第t年 岁（满 周岁而不到 周岁 ）的人数， 只考虑由于生育、老化和死亡引起的人口演变，而 不记迁移等社会因素的影响。 记 为第t年 岁人口的死亡率，即 于是： 16 记 为第t年 岁女性生育率，即每位女性平 均生育婴儿数， 为育龄区间 , 为第t年 岁人口的女性比， 则第t年的出生人数为： 记 为第t年婴儿死亡率， 即第t年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例 17 于是 对于 , 将（9）、（10）代入（8）得 将 分解为

9、： , 其中 是生育模式， 用以调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低，满足： 18 利用（13）式对（12）式的求和得到 可知 表示第t年每个育龄妇女平均生育的婴儿数， 若设在t年后的一个育龄时期内各个年龄的女 性生育率 都不变， 那么 又可表示为 即 是第t年 岁的每位妇女一生平均生育的婴儿 数，称总和生育率，或生育胎次，它是控制人口数 量的主要参数。 19 将（12）式代入（11）式，并记： 则（11）式写作： 制订生育政策就是确定 和 ，通过 控制 生育多少，通过 可以控制生育的早晚和疏密。 引入向量、矩阵记号： 20 21 那么（17）式和（8）式（ ）可以写作 这个向量形式的一阶差分

10、方程就是人口发展方程。 说明： (1)当初始人口 分布已知时，又由统计资料确定 A(t)及B(t)，并且给定了总和生育率 以后，用这 个方程就可以预测发展过程。 (2)在控制论中， 称状态变量， 作为控制变量。 (3)在稳定的社会环境下，可以认为死亡率、生育 模式和女性比不随时间变化，于是A(t),B(t)为常数 矩阵， 22 （21）式化为： 虽然 全面地反映了人口的年龄结构及其发 展过程，但是为了更简明地描述人口的特征，还 需要一些指标，称为人口指数，主要有： 人口指数： 人口总数 平均年龄 23 平均寿命（经过复杂计算可得） 其含义是：第t年出生的人不论活到哪一年,死 亡率都用第t年的死

11、亡率 计算时,这些人的平 均存活时间.我国人口的平均寿命在本世纪三十年 代是35岁左右,解放初期为50岁左右(1950年北京地 区),到1978年达到68.3岁. 老年化指数 24 它是反映人口老年化程度的指标.平均年龄R(t)越 大， 越大;对于R(t)相同的两个国家和地区，平均 寿命S(t)大时，表示健康水平高，一个人能工作的 时间在一生中占的比例大，所以老龄化指数小。 0，乙军胜，且当y减少到 时，x将为零； 若M0，平局，且当y减少到零时，x也将为零； 若M0，即 所以正规军取胜的条件： 由于 分别表示正规军与游击队的战斗有效 系数，所以可将它们表示为 其中 是正规军的射击率（每个士兵

12、单位时 间射击次数）， 44 是正规军每次射击的命中率； 是游击队的射击率（每个士兵单位时间 射击次数）， 是游击队每次射击的命中率。 但在战斗过程中，可假定正规军在游击队的火 力之内且游击队每次射击是有目标的，而游击队虽 然在正规军的火力之内，但活动范围大且是隐蔽的 ，所以正规军每次命中率与游击队活动范围及每次 射击的打击面有关， 因此 又可表示为 表示游击队的活动范围； 表示正规军每次射击有效面积。 45 所以 将(10-12)代入(10-11)得正规军取胜的条件： 假定正规军的作战火力比游击队作战火力强， 不妨设 ； 游击队的作战兵力 100人， 命中率 0.1， 46 活动范围 0.1

13、平方千米， 正规军每次射击的有效面积 1平方米， 则由(6-13)式，正规军取胜的条件为 即正规军必须10倍于游击队的兵力才能取胜。 47 美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方为 越南，乙方为美国）。根据类似于上面的计算以 及四五十年代发生在马来西亚、菲律宾、印尼、 老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规军 一方要想取胜必须至少投入8 倍于游击队一方的 兵力。而美国最多只能派出6倍于越南的兵力。越 南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越 南人民取得最后胜利。 三、游击战争模型 48 3. 发射卫星为什么用三级火箭 一、为什么不能用一级火箭发射卫星？ 1、卫星进入轨道，火箭所需的最低速度。

14、 将问题理想化，假设: (a)、卫星轨道为过地球中心某一平面上 的圆，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕 地球作平面圆周运动（如图) 49 (b)、地球是固定于空间的均匀球体，其他星 球对卫星的引力忽略不计。 设地球半径为R，中心为O，地球质量看成集 中于球心（根据地球为均匀球体的假设），曲线C 为地球表面， 为卫星轨道，其半径为r，卫星质 量为m， 根据牛顿定理，地球对卫星的引力为 其中G为引力常数，可由卫星在地面的重量算出，即 50 代入(11-1)式得 由假设(a)，卫星所受到的引力既它作匀 速圆周运动的向心力，故又有 故有 从而速度为 51 取g=9.81m/ ,R=6400km,可

15、算出卫星离 地面高度为h公里处的速度如下表 离地面 高度 h(km) 1002004006008001000 卫星速 度 v(km/s) 7.867.807.697.587.477.37 2、火箭推进力及速度的分析 假设 火箭在喷气推动下作直线运动，火 箭重力及空气阻力不计。 52 设在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)，均为t 的连续可微函数。 由泰勒展式有 在t到t+ 时间内火箭的质量减少量为 这个质量的减少，是由于燃料燃烧喷出气体所致。 设喷出气体相对于火箭的速度为u(就一种燃 料而言为常数)，则气体相对于地球运动速度为 v(t) . 53 根据动量守恒定律知 t时刻火箭动量=（t+ t)时刻火箭动量 +（t+ t)时刻转换到气体的能量 所以 从而有 上式两端同除以 ，并令 得 54 (11-2) 式又端表示火箭所受的推力，由此解得 此处 (11-2) 式表明火箭所受的推力等于