流体力学例题讲解

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1、 【例1-1】 一平板距另一固定平板=0.5mm，二 板水平放置，其间充满流体，上板在单位面积上为 =2N/m2的力作用下，以=0.25m/s的速度移动，求该 流体的动力黏度。 【解】由牛顿内摩擦定律 由于两平板间隙很小，速度分布可认为是线性分布 （Pas） 例1-2】 长度L=1m，直径d=200mm水平放置的圆柱体，置 于内径D=206mm的圆管中以u=1m/s的速度移动，已知间 隙中油液的相对密度为d=0.92，运动黏度=5.610-4m2/s ，求所需拉力F为多少？ 解】 间隙中油的密度为 （kg/m3） 动力黏度为 （Pas） 由牛顿内摩擦定律 由于间隙很小，速度可认为是线性分布 （

2、N） 【例2-1】 如下图所示测量装置，活塞直径d=35， 油的相对密度d油=0.92 ，水银的相对密度dHg=13.6，活塞 与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为15时，h=700，试 计算形管测压计的液面高差h值。 【解】 重物使活塞单位面积上承受的压强为 （Pa） 列等压面的平衡方程 解得h为： （） 【例2-2】 如下图所示为双杯双液微压计，杯内和 形管内分别装有密度1=lOOOkg/m3和密度2 =13600kg/m3的两种不同液体，大截面杯的直径 100mm，形管的直径d=10mm，测得h=30mm，计算两 杯内的压强差为多少? 图2-17 【解】 列12截面上的等压面方程 由于两边密度

3、为1的液体容量相等，所以D2h2=d2h，代入 上式得 =3709.6(pa) 【例2-3】 用双形管测压计测量两点的压强差，如 下图所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200 mm， h4=300mm，h5=500mm，1=1000/m3，2=800 /m3，3=13598/m3，试确定和两点的压强差。 【解】 根据等压面条件，图中11，22，33均为等压 面。可应用流体静力学基本方程式逐步推算。 P1=p2+1gh1 p2=p1-3gh2 p3=p2+2gh3 p4=p3-3gh4 pB=p4-1g(h5-h4) 逐个将式子代入下一个式子，则 pB=pA+1gh1-3gh2

4、+2gh3-3gh4-1g(h5-h4) 所以 pA-pB= 1g(h5-h4)+3gh4 +3gh2-2gh3 -1g h1=9.8061000（0.5-0.3） +1334000.3-78500.2 +1334000.25-9.80610000.6 =67876（Pa） 【例2-4】 已知密闭水箱中的液面高度h4=60cm，测压 管中的液面高度h1=100cm，形管中右端工作介质高度 h2=20cm ，如下图所示。试求形管中左端工作介质高度 h3为多少？ 【解】 列11截面等压面方程，则 （a） 列22截面等压面方程，则 （b） 把式（a）代入式（b）中 =0.1365(m)=136.5(

5、mm) 【例2-6】 下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸 ，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度 水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。 【解】 淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2 每米宽水闸左边的总压力为 由式确定的作用点F1位置 其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以 即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。 淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心yc=hc=h2/2。 每米宽水闸右边的总压力为 （） 同理F2作用点的位置在离底1/3h2=2/3m处。 每米宽水闸上所承受的净总压力为 F=F2-F1=78448-19612=5

6、8836（） 假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程 求得其值。围绕水闸底O处的力矩应该平衡，即 (m ) 【例3-1】 已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a， y=b。求（1 ）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3 ）质点加速度。 【解】 根据式得 将上式积分，得 上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。 利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2， c2=-2 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+

7、2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3) 【例3-2】 在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其 迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分 量为多少？ 【解】 根据式得 由式得 【例3-3】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx， w=0，试求其流线方程。 【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线 方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程（3-15），得到 即 xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。 【例3-4】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度 分布

8、规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析 该流动是否连续。 【解】 根据式（3-28） 所以 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的 【例3-5】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布 规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解】 根据式（3-29） 所以 故此流动是连续的。 【例3-6】 有一输水管道，如图3-14所示。水自截面1 -1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s， 已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为 多少？ 图 3-14 输水管道 【解】 m/s 【例3-7】 有一贮水装

9、置如图3-22所示，贮水池足够 大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当 将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气 压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量( 不计流动损失)。 图 3-22 【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭，据压强计的读数，用流体静力学基本方程求出值 代入到上式 （m/s） 所以管内流量 m3/s） 【例3-8】 水流通过如下图所示管路流入大气，已知 ：形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O， 管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损 失，试求管中流量qv。 【解

10、】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压 面，列等压面方程得： 则 (mH2O) 列1-1和2-2断面的伯努利方程 由连续性方程： 将已知数据代入上式，得 （m/s） 管中流量 （m3/s） 二、动量方程应用举例 【例3-9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管， 弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数 p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300 ，d2=200，转角=600，如下图所示。求水对弯管作用 力F的大小。 【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而 F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上 ，将R分

11、解成Rx和Ry两个分力。 取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示 ，坐标按图示方向设置。 1.根据连续性方程可求得： (m/s) (m/s) 2.列管道进、出口的伯努利方程 则得： (Pa) 3.所取控制体受力分析 进、出口控制面上得总压力： （kN） （kN） 壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图 (3-25)所示。 4.写出动量方程 选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴 方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。 沿x轴方向 则 （kN） 沿y轴方向 （kN） 管壁对水的反作用力 (kN) 水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。 【例4-1】 一个以角

12、速度 按反时针方向作像刚体 一样的旋转的流动，如图4-7所示。试求在这个流 场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流 动 . (解) 【例4-2】 一个流体绕O点作同心圆的平面流动， 流场中各点的圆周速度的大小与该 点半径成反 比，即 ，其中C为常数，如图4-8所示。试 求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的 流动情况。(解) 【解】 在流场中对应于任意两个半径 和 的圆周 速度各为 和 ，沿图中画斜线扇形部分 的周界ABCDA的速度环量 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积 于是 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 返回例题返回例题 图4-7

13、 有旋流动中速度环量的计算图4-8 无旋流动中速度环量的计算 返回例题返回例题 【解】 沿扇形面积周界的速度环量 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何 不包围圆心O的区域内，例如 。若包有圆心( )， 该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径 的圆周封闭曲线的速度环量 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不 等于零，并保持一个常数，所以是有 旋流动。但凡是绕 不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆 心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点 。 返回例题返回例题 【例4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布 为 。该平面流动是否存在流函数和速

14、度 势函数；若存在，试求出其表达式；若在流场中A （1m，1m）处的绝对压强为1.4105Pa，流体的密度 1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？ 【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程 该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。 由于是平面流动 该流动无旋，存在速度势函数。 （2）由流函数的全微分得： 积分 由速度势函数的全微分得： 积分 （3）由于 ，因此，A和B处的速度分别为 由伯努里方程 可得 【例6-1】 有一文丘里管如 图6-3所示，若水银差压计 的指示为360mmHg，并 设从截面A流到截面B的水 头损失为0.2mH2O， =300mm， =150mm， 试求此时通过文丘里管的 流量是多少? 图6-3 文丘里管 【解】 以截面A为基准面列出截面A和B的伯努利方程 由此得 （a） 由连续性方程 所以 （b） 水银差压计11为等压面，则有 由上式可得 （c） 将式（b）和式（c）代入（a）中 解得 （m/s） （m3/s） 【例6-2】 有一离心水泵装 置如图6-4所示。已知该泵 的输水量 m3/h，吸 水管内径 150mm，吸 水管路的总水头损失 mH2O，水泵入口 22处，真空表读数为 450mmHg，若吸水池的 面积足够大，试求此时泵 的吸水高度 为多少? 图6-4 离心泵装置示意图 【解】 选取吸水池液面l1和泵进口截面2